Question

（2013•日照一模）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若向量

m

=（-cosB，sinC），

n

=（-cosC，-sinB），且

m

•

n

=

1

2

．
（Ⅰ）求角A的大��；
（Ⅱ）若b+c=4，△ABC的面積S=

3

，求a的值．

Answer 1

分析：（I）由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算公式，結(jié)合

m

•

n

=

1

2

算出cos(B+C)=

1

2

，利用三角形內(nèi)角和定理和π-α的誘導(dǎo)公式可得cosA=-

1

2

，結(jié)合A∈（0，π）即可算出角A的大小；
（II）根據(jù)正弦定理的面積公式，結(jié)合△ABC的面積為

3

算出bc=4． 再用余弦定理a²=b²+c²-2bccosA的式子，代入數(shù)據(jù)即可算出a²=12，從而可得a=2

3

．

解答：解：（Ⅰ）∵

m

=（-cosB，sinC），

n

=（-cosC，-sinB），
∴

m

•

n

=cosB•cosC-sinB•sinC=

1

2

，即cos(B+C)=

1

2

，
∵A+B+C=π，∴B+C=π-A，可得cos（B+C）=cos(π-A)=

1

2

，…（4分）
即cosA=-

1

2

，結(jié)合A∈（0，π），可得A=

2π

3

．                        …（6分）
（Ⅱ）∵△ABC的面積S =

1

2

bc•sinA=

1

2

bc•sin

2π

3

=

3

，A=

2π

3

∴

3

4

bc=

3

，可得bc=4．                                      …（8分）
又由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccos

2π

3

=b²+c²+bc，
∴a²=（b+c）²-bc=16-4=12，解之得a=2

3

（舍負(fù)）．                                     …（12分）

點評：本題給出平面向量含有的三角函數(shù)式的坐標(biāo)，在已知數(shù)量積的情況下求三角形的邊和角．考查了利用正余弦定理解三角形、三角形的面積公式和平面向量的數(shù)量積公式等知識，屬于中檔題．