(本小題滿分14分)
如圖,正四棱柱
中,
,點(diǎn)
在
上且
.
(1) 證明:
平面
;
(2) 求二面角
的余弦值.
解法一:
依題設(shè)知
,
.
(Ⅰ)連結(jié)
交
于點(diǎn)
,則
.由三垂線定理知,
.…………2分
在平面
內(nèi),連結(jié)
交
于點(diǎn)
,
由于
,故
,
,
與
互余.
于是
.…………5分
與平面
內(nèi)兩條相交直線
都垂直,所以
平面
.…………6分
(Ⅱ)作
,垂足為
,連結(jié)
.由三垂線定理知
,
故
是二面角
的平面角.…………8分
,
,
.
,
.
又
,
.
.…………12分
∴
…………13分
所以二面角
的余弦值為
. …………14分.
解法二:
以
為坐標(biāo)原點(diǎn),射線
為
軸的正半軸,建立如圖所示直角坐標(biāo)系
.
依題設(shè),
.………2分
,
. ………4分
(Ⅰ)因為
,
,故
,
.
又
,所以
平面
. ………7分
(Ⅱ)設(shè)向量
是平面
的法向量,則
,
.故
,
.………10分
令
,則
,
,
.………11分
等于二面角
的平面角,
.………13分
所以二面角
的余弦值為
. …………14分
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本小題14分)如圖,在等腰梯形
中,
將
沿
折起,使平面
⊥平面
.
(1)求證:
⊥平面
;
(2)求二面角
的大;
(3)若
是側(cè)棱
中點(diǎn),求直線
與平面
所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分12分)(注意:在試題卷上作答無效)
如圖,直角△
BCD所在的平面垂直于正△
ABC所在的平面,
PA⊥平面
ABC,
,
為
DB的中點(diǎn),
(Ⅰ)證明:
AE⊥
BC;
(Ⅱ)若點(diǎn)
是線段
上的動點(diǎn),設(shè)平面
與平面
所成的平面角大小為
,當(dāng)
在
內(nèi)取值時,求直線
PF與平面
DBC所成的角的范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(12分)如圖,在多面體ABCDEF中,四邊形ABCD是正方形,AB=2EF=2,EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°,BF=FC,H為BC的中點(diǎn),
(Ⅰ)求證:FH∥平面EDB;
(Ⅱ)求證:AC⊥平面EDB;
(Ⅲ)求四面體B—DEF的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本題滿分12分)
如圖所示,已知
M、N分別是
AC、AD的中點(diǎn),BC
CD.
(1)求證:MN∥平面BCD;
(2)求證:平面ACD
平面ABC;
(3)若AB=1,BC=
,求直線AC與平面BCD所成的角.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本小題12分)
正三棱柱
中,所有棱長均相等,
分別是棱
的中點(diǎn),
截面
將三棱柱截成幾何體Ⅰ和幾何體Ⅱ兩個幾何體.
①求幾何體Ⅰ和幾何體Ⅱ的表面積之比;
②求幾何體Ⅰ和幾何體Ⅱ的體積之比.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
如圖,兩個正方形
和
所在平面互相垂直,設(shè)
、
分別是
和
的中點(diǎn),那么①
;②
面
;③
;④
、
異面
其中正確結(jié)論的序號是____
★______.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
已知
a、
b是直線,
、
、
是平面,給出下列命題:
①若
∥
,
a,則
a∥
;
②若
a、
b與
所成角相等,則
a∥
b;
③若
⊥
、
⊥
,則
∥
;
④若
a⊥
,
a⊥
,則
∥
.
其中正確的命題的序號是_________.
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