Question

11．已知如圖：四邊形ABCD是矩形，BC⊥平面ABE，且AE=EB=BC=2，點(diǎn)F為CE上一點(diǎn)，且BF⊥平面ACE．
（1）求證：AE∥平面BFD；
（2）求多面體ABCDE的表面積．

Answer 1

分析 （1）線(xiàn)面平行轉(zhuǎn)化證明線(xiàn)線(xiàn)平面即可．記AC∩BD=M，連FM，則M為AC的中點(diǎn)；證明FM∥AE，可證AE∥平面BFD；
（2）多面體ABCDE的表面積各面的面積之和．根據(jù)題設(shè)各邊長(zhǎng)計(jì)算即可．

解答 （1）證明：如圖，記AC∩BD=M，連FM，則M為AC的中點(diǎn)；

而B(niǎo)F⊥平面ACE，
∴BF⊥CE，
在△BCE中，∵BE=BC，∴F為CE的中點(diǎn)；
從而FM是△ACE的中位線(xiàn)，所以FM∥AE，
又FM?平面DBF，AE?平面DBF，
∴AE∥平面BFD；
（2）由題意：由BF⊥平面ACE，
∴AE⊥BF；
∵BC⊥平面ABE，
∴AE⊥BC，AE⊥平面BEC，AE⊥BE，
因此△ABE為直角三角形，所以$AB=2\sqrt{2}$，
而$CE=2\sqrt{2}，DE=2\sqrt{2}$，所以△CDE為正三角形．
所以多面體ABCDE的表面積S_ABCD+S_△ESC+S_△CFD+S_AEFD=$\frac{1}{2}×2×2×3+\frac{{\sqrt{3}}}{4}×{（{2\sqrt{2}}）^2}+2×2\sqrt{2}=6+2\sqrt{3}+4\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線(xiàn)面平行的證明和多面體ABCDE的表面積的計(jì)算．屬于基礎(chǔ)題．