Question

已知冪函數(shù)f（x）=x^{（2-k）（1+k）}（k∈z）在（0，+∞）上遞增．
（1）求實(shí)數(shù)k的值，并寫出相應(yīng)的函數(shù)f（x）的解析式；
（2）對于（1）中的函數(shù)f（x），試判斷是否存在正數(shù)m，使函數(shù)g（x）=1-mf（x）+（4m-1）x，在區(qū)間[0，1]上的最大值為5．若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用冪函數(shù)的定義和單調(diào)性即可得出；
（2）利用二次函數(shù)的對稱軸與0，1的大小關(guān)系和其單調(diào)性即可解出．

解答：解：（1）∵冪函數(shù)f（x）=x^{（2-k）（1+k）}（k∈z）在（0，+∞）上遞增，
∴（2-k）（1+k）＞0，解得-1＜k＜2，
又∵k∈Z，∴k=0或1．
當(dāng)k=0或1時，（2-k）（1+k）=2，
∴冪函數(shù)f（x）=x²；
（2）由（1）可知：g（x）=-mx²+（4m-1）x+1，
∵m＞0，∴-m＜0，g（x）=-m(x-

4m-1

2m

)2+

16m2-4m+1

4m

．
①當(dāng)

4m-1

2m

≤0，m＞0時，解得0＜m≤

1

4

，則g（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，因此在x=0處取得最大值，而g（0）=1≠5不符合要求，應(yīng)舍去；
②當(dāng)

4m-1

2m

≥1，m＞0時，解得m≥

1

2

，則g（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，因此在x=1處取得最大值，∴g（1）=5，即3m=5，解得m=

5

3

，滿足條件；
③當(dāng)0＜

4m-1

2m

＜1，m＞0時，解得

1

4

＜m＜

1

2

，則g（x）在x=

4m-1

2m

處取得最小值，最大值在x=0或1處取得，而g（0）=1不符合要求；
由g（1）=5，即3m=5，解得m=

5

3

，不滿足m的范圍．
綜上可知：滿足條件的m存在且m=

5

3

．

點(diǎn)評：熟練掌握冪函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性及分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．