Question

如圖，設P₀是拋物線y=x²上一點，且在第一象限．過點P₀作拋物線的切線，交x軸于Q₁點，過Q₁點作x軸的垂線，交拋物線于P₁點，此時就稱P₀確定了P₁．依此類推，可由P₁確定P₂，…．記P_n（x_n，y_n），n=0，1，2，…．給出下列三個結論：
①x_n＞0；
②數列{x_n}是公比為

1

4

的等比數列；
③當x₀=1時，y₀+y₁+y₂+…+y_n＜2．
其中所有正確結論的序號為

①、③

．

Answer 1

分析：通過求導即可得到切線的斜率，進而得到切線的方程，即可得到x_n+1與x_n的關系，利用等比數列的通項公式、求和公式即可求出．

解答：解：求導得：y′=2x，
∴在P_n處作曲線C的切線的斜率為2x_n，
則此切線方程為y-y_n=2x_n（x-x_n），即y=2x_nx-x_n²，
令y=0，得到x=

1

2

x_n，∴Q_n+1（

1

2

x_n，0），即x_n+1=

1

2

x_n，
∵x₁＞0，∴x_n＞0，即①正確；
∵x_n+1=

1

2

x_n，∴數列{x_n}是公比為

1

2

的等比數列，即②不正確；
③當x₀=1時，數列{x_n}是以1為首項，公比為

1

2

的等比數列，∴數列{y_n}是以1為首項，公比為

1

4

的等比數列
∴y₀+y₁+y₂+…+y_n=

1-( 1 4 )n

1- 1 4

＜

4

3

＜2，即③正確．
綜上，正確結論的序號為①③．

點評：本題考查了等比數列的通項公式，曲線上過某點切線方程的斜率，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．