Question

如圖，設(shè)P₀是拋物線(xiàn)y=x²上一點(diǎn)，且在第一象限．過(guò)點(diǎn)P₀作拋物線(xiàn)的切線(xiàn)，交x軸于Q₁點(diǎn)，過(guò)Q₁點(diǎn)作x軸的垂線(xiàn)，交拋物線(xiàn)于P₁點(diǎn)，此時(shí)就稱(chēng)P₀確定了P₁．依此類(lèi)推，可由P₁確定P₂，…．記P_n（x_n，y_n），n=0，1，2，…．給出下列三個(gè)結(jié)論：
①x_n＞0；
②數(shù)列{x_n}為單調(diào)遞減數(shù)列；
③對(duì)于?n∈N，?x₀＞1，使得y₀+y₁+y₂+…+y_n＜2．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為

①②③

．

Answer 1

分析：求出過(guò)點(diǎn)P_n作拋物線(xiàn)的切線(xiàn)方程為y-xn2=2xn(x-xn)，證明數(shù)列{x_n}為公比為

1

2

的等比數(shù)列，即可得到結(jié)論．

解答：解：記P_n（x_n，y_n），則
∵拋物線(xiàn)y=x²，∴y′=2x，
∴過(guò)點(diǎn)P_n作拋物線(xiàn)的切線(xiàn)方程為y-xn2=2xn(x-xn)，即y=2xnx-xn2
令y=0，則0=2xnxn+1-xn2，∴xn+1=

1

2

xn
∴數(shù)列{x_n}為公比為

1

2

的等比數(shù)列
∵P₀是拋物線(xiàn)y=x²上一點(diǎn)，且在第一象限，
∴x_n＞0；數(shù)列{x_n}為單調(diào)遞減數(shù)列；
y₀+y₁+y₂+…+y_n=x02+x12+…+xn2=

x02•[1-( 1 4 )n]

1- 1 4

∴0＜x₀＜

6

2

時(shí)，y₀+y₁+y₂+…+y_n＜2．
∴?x₀＞1，使得y₀+y₁+y₂+…+y_n＜2．
故正確結(jié)論的序號(hào)為①②③
故答案為：①②③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與解析幾何的綜合，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．