Question

已知函數(shù)f（x）對任意x，y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y），且當x＞0時，f（x）＞0
（1）求f（0）的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性
（3）若已知f（1）=2，試判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并求滿足f（2-a）=6的實數(shù)a的值．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）取x=y=0即可求得f（0）的值；
（2）令y=-x，易得f（x）+f（-x）=0，從而可判斷其奇偶性；
（3）設x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，作差f（x₂）-f（x₁）后判斷其符號即可證得f（x）為R上的增函數(shù)，根據(jù)抽象函數(shù)的關(guān)系求出f（3）=6，然后將方程進行轉(zhuǎn)化即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）取x=y=0得，則f（0+0）=f（0）+f（0），即f（0）=0；
（2）函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
證明：已知函數(shù)的定義域為R，
取y=-x代入，得f（0）=f（x）+f（-x），
又f（0）=0，于是f（-x）=-f（x），
∴f（x）為奇函數(shù)；                        
（3）設x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，
則f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁），
由x₂-x₁＞0知，f（x₂-x₁）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴函數(shù)f（x）為R上的增函數(shù)．
若f（1）=2，則f（2）=f（1+1）=f（1）+f（1）=2+2=4，
f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）=4+2=6，
則方程f（2-a）=6等價為f（2-a）=f（3），
∵函數(shù)f（x）為R上的增函數(shù)，
∴2-a=3，
解得a=-1．

點評：本題考查抽象函數(shù)及其應用，以及函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷，利用賦值法以及函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義是解決本題的關(guān)鍵．