Question

拋物線y=（n²+n）x²-（2n+1）x+1（n∈N^*），交x軸于A_n，B_n兩點(diǎn)，則|A₁B₁|+|A₂B₂|+|A₃B₃|+…+|A₂₀₀₈B₂₀₀₈|值為_(kāi)_____．

Answer 1

由已知A_n、B_n的橫坐標(biāo)為（n²+n）x²-（2n+1）x+1=0的根，
即A_n、B_n的橫坐標(biāo)為（n²+n）（x-

1

n

）（x-

1

n+1

）=0的根．
故拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（

1

n

，0）和（

1

n+1

，0）
由題意，AnBn=

1

n

-

1

n+1

．
∴|A₁B₁|+|A₂B₂|+|A₃B₃|+…+|A₂₀₀₈B₂₀₀₈|=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2008

-

1

2009

=1-

1

2009

=

2008

2009

．
故答案為：

2008

2009

．