Question

5．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=2，a_n+1=2S_n+2．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{b_n}的各項均為正數(shù)，且$\frac{b_n}{2}$是$\frac{n}{a_n}$與$\frac{n}{{{a_{n+2}}}}$的等比中項，求b_n的前n項和為T_n．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關(guān)系、等比數(shù)列的定義與通項公式即可得出．
（2）利用“錯位相減法”、等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）當(dāng)n≥2時，由a_n+1=2S_n+2，得a_n=2S_n-1+2，
兩式相減得a_n+1-a_n=2（S_n-S_n-1）=2a_n，a_n+1=3a_n，
當(dāng)n=1時，a₂=2S₁+2=2a₁+2=6，a₂=3a₁，
∵a₁=2≠0，∴a_n≠0．
故當(dāng)n≥1時，$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=3$，則數(shù)列{a_n}是首項為2，公比為3的等比數(shù)列，
∴${a_n}=2×{3^{n-1}}$．
（2）$\frac{b_n}{2}=\sqrt{\frac{n}{a_n}×\frac{n}{{{a_{n+2}}}}}=\sqrt{\frac{n}{{2×{3^{n-1}}}}×\frac{n}{{2×{3^{n+1}}}}}=\frac{n}{{2×{3^n}}}$，${b_n}=\frac{n}{3^n}$，
∴${T_n}=\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+…+\frac{n}{3^n}$，①
則$\frac{1}{3}{T_n}=\frac{1}{3^2}+\frac{2}{3^3}+\frac{3}{3^4}+…+\frac{n}{{{3^{n+1}}}}$，②
則①-②得：$\frac{2}{3}{T_n}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+…+\frac{1}{3^n}-\frac{n}{{{3^{n+1}}}}$
$2{T_n}=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+…+\frac{1}{{{3^{n-1}}}}-\frac{n}{3^n}=\frac{{1-\frac{1}{3^n}}}{{1-\frac{1}{3}}}-\frac{n}{3^n}=\frac{3}{2}-\frac{2n+3}{{2•{3^n}}}$．
∴${T_n}=\frac{3}{4}-\frac{2n+3}{{4•{3^n}}}$．

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式及其求和公式、“錯位相減法”、數(shù)列的遞推關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．