Question

20．如圖所示，在四邊形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=2$\sqrt{2}$，AD=2，求四邊形ABCD繞AD旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積及體積．
注：圓臺(tái)的體積和側(cè)面積公式：
V_臺(tái)=$\frac{1}{3}$（S_上+S_下+$\sqrt{S上•S下}$）h=$\frac{1}{3}$π（r${\;}_{1}^{2}$+r${\;}_{2}^{2}$+r₁r₂）h
S_側(cè)=π（r_上+r_下）l
圓錐的側(cè)面積公式：V_錐=$\frac{1}{3}$Sh，S_側(cè)=πrl．

Answer 1

分析 畫出四邊形ABCD繞AD旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體，然后求出圓臺(tái)的底面積、圓臺(tái)的側(cè)面積及圓錐的側(cè)面積作和得答案；由圓臺(tái)的體積減去圓錐的體積求得幾何體的體積．

解答 解：如圖，∵∠ADC=135°，∴∠CDE=45°，又CD=2$\sqrt{2}$，
∴DE=CE=2，又AB=5，AD=2，
∴BC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}=5$．

則圓臺(tái)上底面半徑r₁=2，下底面半徑r₂=5，高h(yuǎn)=4，母線長l=5，圓錐底面半徑r₁=2，高h(yuǎn)′=2．
∴S_表面=S_{圓臺(tái)底面}+S_{圓臺(tái)側(cè)面}+S_{圓錐側(cè)面}=π×5²+π×（2+5）×5+π×2×2$\sqrt{2}$
=（4$\sqrt{2}$+60）π；
V=V_圓臺(tái)-V_圓錐=$\frac{1}{3}$π（${{r}_{1}}^{2}$+r₁r₂+${{r}_{2}}^{2}$）h-$\frac{1}{3}$π${{r}_{1}}^{2}$h′=$\frac{1}{3}$π（25+10+4）×4-$\frac{1}{3}$π×4×2=$\frac{148}{3}$π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓錐、圓臺(tái)的體積的求法，明確四邊形ABCD繞直線AD旋轉(zhuǎn)所得圖形是解答該題的關(guān)鍵，是中檔題．