Question

（選做題）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為為參數(shù)），P為C₁上的動點(diǎn)，Q為線段OP的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求點(diǎn)Q的軌跡C₂的方程；
（Ⅱ）在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸（兩坐標(biāo)系取相同的長度單位）的極坐標(biāo)系中，N為曲線ρ=2sinθ上的動點(diǎn)，M為C₂與x軸的交點(diǎn)，求|MN|的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)Q（x，y），利用Q為線段OP的中點(diǎn)，可得點(diǎn)P（2x，2y），利用P為C₁上的動點(diǎn)，曲線C₁的參數(shù)方程為，即可求得點(diǎn)Q的軌跡C₂的方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得點(diǎn)M（1，0），且曲線ρ=2sinθ上的直角坐標(biāo)方程為x²+（y-1）²=1，從而可求|MN|的最大值．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)Q（x，y），則∵Q為線段OP的中點(diǎn)，∴點(diǎn)P（2x，2y），
又P為C₁上的動點(diǎn)，曲線C₁的參數(shù)方程為
∴（t為參數(shù)）
∴（t為參數(shù)）
∴點(diǎn)Q的軌跡C₂的方程為（t為參數(shù)）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得點(diǎn)M（1，0），
∵曲線ρ=2sinθ
∴ρ²=2ρsinθ
∴x²+y²=2y
∴x²+（y-1）²=1
即曲線ρ=2sinθ的直角坐標(biāo)方程為x²+（y-1）²=1
∴|MN|的最大值為．
點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查軌跡方程的求解，考查代入法求軌跡方程，考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的互化，屬于基礎(chǔ)題．