Question

（2008•寶山區(qū)一模）如圖，已知正△A₁B₁C₁的邊長(zhǎng)是1，面積是P₁，取△A₁B₁C₁各邊的中點(diǎn)A₂，B₂，C₂，△A₂B₂C₂的面積為P₂，再取△A₂B₂C₂各邊的中點(diǎn)A₃，B₃，C₃，△A₃B₃C₃的面積為P₃，依此類推．記S_n=P₁+P₂+…+P_n，則

lim

n→∞

Sn=

3

3

．

Answer 1

分析：先利用邊長(zhǎng)之間的關(guān)系得出邊長(zhǎng)組成以1為首項(xiàng)，

1

2

為公比的等比數(shù)列，進(jìn)而得出三角形的面積組成以

3

4

為首項(xiàng)，

1

4

為公比的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的求和公式進(jìn)行求和，再求極限．

解答：解：由題意，由于邊長(zhǎng)組成以1為首項(xiàng)，

1

2

為公比的等比數(shù)列，
所以三角形的面積組成以

3

4

為首項(xiàng)，

1

4

為公比的等比數(shù)列，
∴S_n=P₁+P₂+…+P_n=

3 4 [1-( 1 4 )n]

1- 1 4

∴

lim

n→∞

Sn=

3

3

故答案為

3

3

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是數(shù)列的極限，主要考查等比數(shù)列的和的極限，關(guān)鍵是從實(shí)際問題中抽象出等比數(shù)列的模型，進(jìn)而再求數(shù)列的極限．