Question

2．已知拋物線C：x²=2py（p＞0）在點(diǎn)P（4，4）處的切線經(jīng)過橢圓C₁：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的右焦點(diǎn)E，橢圓C₁的短軸長與拋物線C的焦距相等．
（1）求拋物線C和橢圓C₁的方程；
（2）經(jīng)過橢圓C₁左焦點(diǎn)F的直線l與橢圓C₁交于A，B兩點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)D，使得無論AB怎樣運(yùn)動，都有∠ADF=∠BDE？若存在，求出D的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）將P代入拋物線方程，即可求得p，求導(dǎo)，即可求得切線的方程，當(dāng)y=0時，即可求得c的值，由2b=p=2，則b=1，a²=b²+c²=5，即可求得橢圓方程；
（2）分類討論，當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程，代入橢圓方程，由∠ADF=∠BDF，則直線AD、BD的斜率互為相反數(shù)，根據(jù)直線的斜率公式及韋達(dá)定理即可求得m的值，求得D點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）由點(diǎn)P（4，4）在拋物線C：x²=2py上，則16=2p×4，則2p=4，
∴拋物線C的方程：x²=4y，則y=$\frac{{x}^{2}}{4}$，
由y′=$\frac{x}{2}$，則點(diǎn)P（4，4）處切線的斜率k=2，
則切線方程y-4=2（x-4），則y=2x-4，
由切線方程過橢圓的右焦點(diǎn)，則當(dāng)y=0時，x=2，即c=2，
由橢圓C₁的短軸長與拋物線C的焦距相等，則2b=p=2，則b=1，
a²=b²+c²=5，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{{x}^{2}}{5}+{y}^{2}=1$；
（2）直線l垂直x軸時，A、B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對稱，
∵F（-2，0），∴要使∠ADF=∠BDF，則點(diǎn)D必在x軸上，
設(shè)D（m，0），直線l不垂直x軸時，l的方程設(shè)為：y=k（x+2），
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{5}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得（1+5k²）x²+20k²x+20k²-5=0．
∴x₁+x₂=$\frac{20{k}^{2}}{1+5{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{20{k}^{2}-5}{1+5{k}^{2}}$．
∵∠ADF=∠BDF，∴直線AD、BD的斜率互為相反數(shù)，
即$\frac{k（{x}_{1}+2）}{{x}_{1}-a}$+$\frac{k（{x}_{2}+2）}{{x}_{2}-a}$=0，
當(dāng)k=0時恒成立．
k≠0時，m=$\frac{2{x}_{1}{x}_{2}+2（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}+4}$=-$\frac{5}{2}$；
∴存在定點(diǎn)D（-$\frac{5}{2}$，0），使得無論AB怎樣運(yùn)動，都有∠ADF=∠BDF．

點(diǎn)評 本題考查拋物線切線方程的求法，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，直線的斜率公式，考查計算能力，屬于中檔題．