【題目】已知橢圓的右焦點
,橢圓
的左,右頂點分別為
.過點
的直線
與橢圓交于
兩點,且
的面積是
的面積的3倍.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若與
軸垂直,
是橢圓
上位于直線
兩側的動點,且滿足
,試問直線
的斜率是否為定值,請說明理由.
【答案】(I);(II)為定值
.
【解析】試題分析:
(1)利用題意求得,則橢圓
的方程為
.
(2)設出直線的 斜率,聯(lián)立直線與橢圓的方程可得直線的斜率為定值
.
試題解析:
解法一:(Ⅰ)因為的面積是
的面積的3倍,
所以,即
,所以
,所以
,
則橢圓的方程為
.
(Ⅱ)當,則
,
設直線的斜率為
,則直線
的斜率為
,
不妨設點在
軸上方,
,設
,
則的直線方程為
,代入
中整理得
,
;
同理.
所以,
,
則,
因此直線的斜率是定值
.
解法二:(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)依題意知直線的斜率存在,所以設
方程:
代入
中整理得
,設
,
所以,
,
當,則
,不妨設點
在
軸上方,
,
所以,整理得
,
所以
,
整理得,
即,所以
或
.
當時,直線
過定點
,不合題意;
當時,
,符合題意,
所以直線的斜率是定值
.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】心理學家分析發(fā)現(xiàn)“喜歡空間想象”與“性別”有關,某數學興趣小組為了驗證此結論,從全體組員中按分層抽樣的方法抽取50名同學(男生30人、女生20人),給每位同學立體幾何題、代數題各一道,讓各位同學自由選擇一道題進行解答,選題情況統(tǒng)計如下表:(單位:人)
立體幾何題 | 代數題 | 總計 | |
男同學 | 22 | 8 | 30 |
女同學 | 8 | 12 | 20 |
總計 | 30 | 20 | 50 |
(1)能否有97.5%以上的把握認為“喜歡空間想象”與“性別”有關?
(2)經統(tǒng)計得,選擇做立體幾何題的學生正答率為,且答對的學生中男生人數是女生人數的5倍,現(xiàn)從選擇做立體幾何題且答錯的學生中任意抽取兩人對他們的答題情況進行研究,求恰好抽到男女生各一人的概率.
附表及公式:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知關于x的二次函數f(x)=x2+(2t-1)x+1-2t.
(1)求證:對于任意t∈R,方程f(x)=1必有實數根;
(2)若<t<
,求證:方程f(x)=0在區(qū)間(-1,0)及
內各有一個實數根.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩家商場對同一種商品展開促銷活動,對購買該商品的顧客兩家商場的獎勵方案如下:
甲商場:顧客轉動如圖所示轉盤,當指針指向陰影部分(圖中兩個陰影部分均為扇形,且每個扇形圓心角均為,邊界忽略不計)即為中獎.
乙商場:從裝有4個白球,4個紅球和4個籃球的盒子中一次性摸出3球(這些球初顏色外完全相同),如果摸到的是3個不同顏色的球,即為中獎.
(Ⅰ)試問:購買該商品的顧客在哪家商場中獎的可能性大?說明理由;
(Ⅱ)記在乙商場購買該商品的顧客摸到籃球的個數為,求
的分布列及數學期望.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知全集U=R,集合A={x|-5<x<5},B={x|0≤x<7},求:(1)A∩B;(2)A∪B;(3)A∪(UB);(4)B∩(UA);(5)(UA)∩(UB).
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知函數f(x)=a﹣(a∈R)
(Ⅰ)判斷函數f(x)在R上的單調性,并用單調函數的定義證明;
(Ⅱ)是否存在實數a使函數f(x)為奇函數?若存在,求出a的值;若不存在,請說明理由.
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