【題目】已知正三棱柱中,,點(diǎn)為的中點(diǎn),點(diǎn)在線段上.
(Ⅰ)當(dāng)時,求證;
(Ⅱ)是否存在點(diǎn),使二面角等于60°?若存在,求的長;若不存在,請說明理由.
【答案】(Ⅰ)證明見解析;(Ⅱ)存在點(diǎn),當(dāng)時,二面角等于.
【解析】
試題分析:(Ⅰ)證明:連接,由為正三棱柱為正三角形,
又平面平面平面 .易得 丄平面 .(Ⅱ)假設(shè)存在點(diǎn)滿足條件,設(shè).由丄平面,建立空間直角坐標(biāo)系,求得平面的一個法向量為
,平面的一個法向量為 .
試題解析:(Ⅰ)證明:連接,
因為為正三棱柱,所以為正三角形,
又因為為的中點(diǎn),所以,
又平面平面,平面平面,
所以平面,所以.
因為,所以,
所以在中,,
在中,,所以,即.
又,
所以丄平面,面,所以.
(Ⅱ)假設(shè)存在點(diǎn)滿足條件,設(shè).
取的中點(diǎn),連接,則丄平面,
所以,
分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,
則,
所以,
設(shè)平面的一個法向量為,
則,令,得,
同理,平面的一個法向量為,
則,取,
∴.
∴,解得,
故存在點(diǎn),當(dāng)時,二面角等于.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】國慶期間,某旅行社組團(tuán)去風(fēng)景區(qū)旅游,若旅行團(tuán)人數(shù)在 人或 人以下,每人需交費(fèi)用為 元;若旅行團(tuán)人數(shù)多于 人,則給予優(yōu)惠:每多 人,人均費(fèi)用減少 元,直到達(dá)到規(guī)定人數(shù) 人為止.旅行社需支付各種費(fèi)用共計 元.
Ⅰ 寫出每人需交費(fèi)用 關(guān)于人數(shù) 的函數(shù);
Ⅱ 旅行團(tuán)人數(shù)為多少時,旅行社可獲得最大利潤?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知一次函數(shù)f(x)為增函數(shù),且f(f(x))=4x+9,g(x)=mx+m+3(m∈R).
(1)當(dāng)x∈[-1,2]時,若不等式g(x)>0恒成立,求m的取值范圍;
(2)如果函數(shù)F(x)=f(x)g(x)為偶函數(shù),求m的值;
(3)當(dāng)函數(shù)f(x)和g(x)滿足f(g(x))=g(f(x))時,求函數(shù)的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn),橢圓的左,右頂點(diǎn)分別為.過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn),且的面積是的面積的3倍.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若與軸垂直,是橢圓上位于直線兩側(cè)的動點(diǎn),且滿足,試問直線的斜率是否為定值,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了參加師大附中第30界田徑運(yùn)動會的開幕式,高三年級某6個班聯(lián)合到集市購買了6根竹竿,作為班旗的旗桿之用,它們的長度分別為3.8,4.3,3.6,4.5,4.0,4.1(單位:米).
(Ⅰ)若從中隨機(jī)抽取兩根竹竿,求長度之差不超過0.5米的概率;
(Ⅱ)若長度不小于4米的竹竿價格為每根10元,長度小于4米的竹竿價格為每根元.從這6根竹竿中隨機(jī)抽取兩根,若期望這兩根竹竿的價格之和為18元,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在如圖所示的四棱錐中,四邊形為正方形,,平面,且、、分別為、、的中點(diǎn),.
⑴證明:平面;
⑵若,求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)是偶函數(shù).
(1)求的值;
(2)設(shè),若函數(shù)與的圖象有且只有一個公共點(diǎn),求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),且此函數(shù)圖象過點(diǎn)(1,5).
(1)求實數(shù)m的值;
(2)判斷函數(shù)f(x)在(0,2)上的單調(diào)性?并用定義證明.
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