Question

10．本小題滿分12分）
已知函數f（x）=sinx（2cosx-sinx）+cos²x．
（Ⅰ）討論函數f（x）在[0，π]上的單調性；
（Ⅱ）設$\frac{π}{4}$＜α＜$\frac{π}{2}$，且f（α）=-$\frac{5\sqrt{2}}{13}$求sin2α的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用二倍角公式和和差角（輔助角）公式，將函數的解析式化為正弦型函數的形式，再由正弦函數的圖象和性質，可得函數f（x）在[0，π]上的單調性；
（Ⅱ）由$\frac{π}{4}$＜α＜$\frac{π}{2}$，且f（α）=-$\frac{5\sqrt{2}}{13}$，sin（2α+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{5}{13}$，cos（2α+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{12}{13}$，代入兩角和的正弦公式，可得答案．

解答 解：（Ⅰ） f（x）=sinx•（2cosx-sinx）+cos²x=sin2x-sin²x+cos²x=sin2x+cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），（2分）
由x∈[0，π]得2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{9π}{4}$]，
當2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]即x∈[0，$\frac{π}{8}$]時，f（x）遞增；
當2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$]即x∈[$\frac{π}{8}$，$\frac{5π}{8}$]時，f（x）遞減；
當2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{3π}{2}$，$\frac{9π}{4}$]即x∈[$\frac{5π}{8}$，π]時，f（x）遞增．
綜上，函數f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{8}$]、[$\frac{5π}{8}$，π]上遞增，在區(qū)間[$\frac{π}{8}$，$\frac{5π}{8}$]上遞減．（6分）
（Ⅱ）由f（α）=-$\frac{5\sqrt{2}}{13}$，即$\sqrt{2}$sin（2α+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{5\sqrt{2}}{13}$，
得sin（2α+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{5}{13}$，（7分）
因為$\frac{π}{4}$＜α＜$\frac{π}{2}$，所以$\frac{3π}{4}$＜2α+$\frac{π}{4}$＜$\frac{5π}{4}$，
可得cos（2α+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{12}{13}$，（9分）
則sin2α=sin[（2α+$\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{4}$]=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2α+$\frac{π}{4}$）-$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos（2α+$\frac{π}{4}$）（11分）
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×（-$\frac{5}{13}$）-$\frac{\sqrt{2}}{2}$×（-$\frac{12}{13}$）=$\frac{7\sqrt{2}}{26}$．（12分）

點評 本題考查的知識點是正弦型函數的圖象和性質，誘導公式和和差角（輔助角）公式，同角三角函數的基本關系公式，二倍角的正切公式和兩角和的正弦公式，是三角函數的綜合應用，難度中檔．