Question

17．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥面ABCD，PA=AD=4，AB=2，以AC中點(diǎn)O為球心，AC為直徑的球面交線段PD（不含端點(diǎn)）于M．
（1）求證：面ABM⊥面PCD；
（2）求三棱錐P-AMC的體積．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出CD⊥AD，CD⊥PA，從而CD⊥面PAD，進(jìn)而AM⊥CD，再求出AM⊥MC，從而AM⊥面PCD，由此能證明面ABM⊥面PCD．
（2）三棱錐P-AMC的體積V_P-AMC=V_C-PAM，由此能求出結(jié)果．

解答 證明：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴CD⊥AD，
∵PA⊥面ABCD，CD?平面ABCD，∴CD⊥PA，
∴CD⊥面PAD，∵AM?面PAD，∴AM⊥CD，
∵AC為直徑的球面交PD于M，∴AM⊥MC，
∵CD與MC是面PCD內(nèi)兩條相交直線，
∴AM⊥面PCD，
∵AM?平面ABM，∴面ABM⊥面PCD．…6（分）
解：（2）∵PA=AD=4，等腰直角三角形PAD面積為S=8，CD=2
∴三棱錐P-AMC的體積：
V_P-AMC=V_C-PAM=$\frac{1}{2}$V_C-PAD=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{3}$S•CD=$\frac{8}{3}$…12（分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查面面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間思維能力，考查函數(shù)與方程思想、化歸轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．