5.動直線y=kx+4-3k與函數(shù)$f(x)=\frac{4x-11}{x-3}$的圖象交于A、B兩點,點P(x,y)是平面上的動點,滿足$|{\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}}|=2$,則x2+y2的取值范圍為[16,36].

分析 確定P的軌跡方程,即可得出結論.

解答 解:y=k(x-3)+4  必經(jīng)過點Q (3,4)是以新原點O'(3,4)坐標下的y'=kx'
$f(x)=\frac{4x-11}{x-3}$是以新原點O'(3,4)坐標下的x'y′1
所以交點A,B為新原點O'下的A($\frac{1}{\sqrt{k}}$,$\sqrt{k}$),B(-$\frac{1}{\sqrt{k}}$,-$\sqrt{k}$)
PA=($\frac{1}{\sqrt{k}}$-m)+($\sqrt{k}$-n)i
PB=(-$\frac{1}{\sqrt{k}}$-m)+(-$\sqrt{k}$-n)i
|PA+PB|=|-2m-2ni|=2
|m+ni|=1
即m2+n2=1 是一個圓,即P的軌跡是以(3,4)為圓心的單位圓,
∴x2+y2的取值范圍為[16,36],
故答案為[16,36].

點評 本題考查軌跡方程,考查學生的計算能力,確定P的軌跡方程是關鍵.

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