Question

2．?dāng)?shù)列{a_n}中，a₁=$\frac{5}{2}$，a_n=3-$\frac{1}{{a}_{n-1}-1}$（n≥2，n∈N^*），數(shù)列{b_n}滿足b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-2}$（n∈N^*）．
（1）求證：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（2）若數(shù)列{c_n}滿足：c_n=nb_n，求數(shù)列{$\frac{1}{{c}_{n}}$}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)n≥2時通過計算化簡可知b_n-b_n-1=1，當(dāng)n=1時代入計算可知b₁=2，進(jìn)而可得結(jié)論；
（2）通過b_n=n+1，裂項可知$\frac{1}{{c}_{n}}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，并項相加即可．

解答 （1）證明：當(dāng)n≥2時，b_n-b_n-1=$\frac{1}{{a}_{n}-2}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}-2}$
=$\frac{1}{（3-\frac{1}{{a}_{n-1}-1}）-2}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}-2}$
=$\frac{{a}_{n-1}-1}{{a}_{n-1}-2}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}-2}$
=1；
當(dāng)n=1時，b₁=$\frac{1}{{a}_{1}-2}$=$\frac{1}{\frac{5}{2}-2}$=2，
∴數(shù)列{b_n}是首項b₁=2、公差為1的等差數(shù)列；
（2）解：由（1）得b_n=n+1，
∴c_n=n（n+1），
∴$\frac{1}{{c}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴S_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
=1-$\frac{1}{n+1}$
=$\frac{n}{n+1}$．

點評 本題考查等差數(shù)列的判斷、數(shù)列的求和，注意解題方法的積累，屬于中檔題．