Question

6．已知點(diǎn)O（0，0），A（1，2），B（4，5），$\overrightarrow{OP}$=t₁$\overrightarrow{OA}$+t₂$\overrightarrow{AB}$．
（1）證明：當(dāng)t₁=1時(shí)，不論t₂為何實(shí)數(shù)，A、B、P三點(diǎn)共線；
（2）試求當(dāng)t₁、t₂滿足什么條件時(shí)，O、A、B、P能組成一個(gè)平行四邊形．

Answer 1

分析 （1）把t₁=1代入$\overrightarrow{OP}$=t₁$\overrightarrow{OA}$+t₂$\overrightarrow{AB}$化簡，利用向量共線的條件即可證明結(jié)論；
（2）設(shè)P的坐標(biāo)是（x，y），根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量相等的條件化簡$\overrightarrow{OP}$=t₁$\overrightarrow{OA}$+t₂$\overrightarrow{AB}$，求出p點(diǎn)的坐標(biāo)，由平行四邊形的性質(zhì)可得$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{PB}$，利用向量相等、坐標(biāo)運(yùn)算列出方程組求解．

解答 證明：（1）由題意知，t₁=1，代入$\overrightarrow{OP}$=t₁$\overrightarrow{OA}$+t₂$\overrightarrow{AB}$得，
$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+t₂$\overrightarrow{AB}$，則$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{OA}$=t₂$\overrightarrow{AB}$，即$\overrightarrow{AP}$=t₂$\overrightarrow{AB}$，
所以當(dāng)t₁=1時(shí)，不論t₂為何實(shí)數(shù)，A、B、P三點(diǎn)共線；
（2）設(shè)P的坐標(biāo)是（x，y），
由O（0，0），A（1，2），B（4，5）得，$\overrightarrow{OA}$=（1，2），$\overrightarrow{AB}$=（3，3），
因?yàn)?\overrightarrow{OP}$=t₁$\overrightarrow{OA}$+t₂$\overrightarrow{AB}$，所以（x，y）=t₁（1，2）+t₂（3，3），
解得x=t₁+3t₂，y=2t₁+3t₂，
若四邊形OABP能成為平行四邊形，
如圖所得，$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{PB}$，
即（1，2）=（4-t₁-3t₂，5-2t₁-3t₂），
所以$\left\{\begin{array}{l}{1=4-{t}_{1}-3{t}_{2}}\\{2=5-2{t}_{1}-3{t}_{2}}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{{t}_{1}+3{t}_{2}=3}\\{2{t}_{1}+3{t}_{2}=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{t}_{1}=0}\\{{t}_{2}=1}\end{array}\right.$，
所以當(dāng)t₁=0、t₂=1時(shí)，O、A、B、P能組成一個(gè)平行四邊形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量相等的條件，以向量共線的條件，屬于中檔題．