Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)為原點(diǎn)的拋物線，它是焦點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn).

(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作互相垂直的兩條直線分別交拋物線于四點(diǎn)，求四邊形的面積的最小值.

Answer 1

【答案】(1)；(2).

【解析】

(1)求出橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)，可得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)焦點(diǎn)在軸正半軸的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可出答案；

(2)根據(jù)已知可設(shè)直線，則直線，分別與拋物線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)關(guān)系及焦半徑公式，即可求出、，可得，利用基本不等式即可得解.

(1)橢圓的右焦點(diǎn)為，

所以拋物線的焦點(diǎn)為，頂點(diǎn)為原點(diǎn)，拋物線的方程為.

(2)由(1)知，拋物線的焦點(diǎn)是，

設(shè)直線，則直線，

聯(lián)立，消去，得，

設(shè)，，則，，

所以，

設(shè)點(diǎn)，，同理可得，

所以

，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.

即四邊形的面積的最小值為.