Question

已知函數(shù)f(x)=cos(2x-

π

3

)+sin2x-cos2x．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期及圖象的對(duì)稱軸方程；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g（x）=[f（x）]²+f（x），求g（x）的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根據(jù)兩角和與差的正余弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，根據(jù)T=

2π

w

可求得最小正周期，再由正弦函數(shù)的對(duì)稱性可求得對(duì)稱軸方程．
（Ⅱ）將f（x）的解析式代入到函數(shù)g（x）中，將sin(2x-

π

6

)作為一個(gè)整體將函數(shù)g（x）化簡(jiǎn)為二次函數(shù)的形式，結(jié)合正弦函數(shù)的值域和二次函數(shù)的最值的求法可求得函數(shù)g（x）的值域．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+sin2x-cos2x
=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x-cos2x
=sin(2x-

π

6

)
∴周期T=

2π

2

=π，
由2x-

π

6

=kπ+

π

2

(k∈Z)，得x=

kπ

2

+

π

3

(k∈Z)
∴函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程為x=

kπ

2

+

π

3

(k∈Z)．
（Ⅱ）g（x）=[f（x）]²+f（x）
=sin2(2x-

π

6

)+sin(2x-

π

6

)
=[sin(2x-

π

6

)+

1

2

]2-

1

4

．
當(dāng)sin(2x-

π

6

)=-

1

2

時(shí)，g（x）取得最小值-

1

4

當(dāng)sin(2x-

π

6

)=1時(shí)，g（x）取得最大值2，
所以g（x）的值域?yàn)?span id="a022imq" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">[-

1

4

， 2]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩角和與差的正余弦公式的應(yīng)用和正弦函數(shù)的基本性質(zhì)--最小正周期、對(duì)稱性和值域．三角函數(shù)和二次函數(shù)的綜合題是經(jīng)常遇到的題型，這里要尤其注意正弦函數(shù)的值域．