Question

【題目】若對任意的正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得數(shù)列的前項和，則稱是“回歸數(shù)列”.

（1）①前項和為的數(shù)列是否是“回歸數(shù)列”?并請說明理由；

②通項公式為的數(shù)列是否是“回歸數(shù)列”?并請說明理由；

（2）設是等差數(shù)列，首項，公差，若是“回歸數(shù)列”，求的值；

（3）是否對任意的等差數(shù)列，總存在兩個“回歸數(shù)列”和，使得成立，請給出你的結(jié)論，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）①是；②是；（2）；（3）見解析.

【解析】

（1）①利用公式和 ，求出數(shù)列的通項公式，按照回歸數(shù)列的定義進行判斷；

②求出數(shù)列的前項和，按照回歸數(shù)列的定義進行判斷；

（2）求出的前項和，根據(jù)是“回歸數(shù)列”，可得到等式，通過取特殊值，求出的值；

（3）等差數(shù)列的公差為，構(gòu)造數(shù)列，可證明

、是等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列前項和，及其通項公式，回歸數(shù)列的概念，即可求出.

（1）①當時，，

當時，，當時，，，所以數(shù)列是“回歸數(shù)列”；

②因為，所以前n項和，根據(jù)題意，

因為一定是偶數(shù)，所以存在，使得，

所以數(shù)列{}是“回歸數(shù)列”；

（2）設是等差數(shù)列為，由題意可知：對任意的正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得數(shù)列的前項和，即，取，得，解得，公差，所以，又；

（3）設等差數(shù)列=，

總存在兩個回歸數(shù)列，顯然和是等差數(shù)列，使得，

證明如下：，

數(shù)列{}前n項和，

時，為正整數(shù)，當時，，

所以存在正整數(shù)，使得，所以{}是“回歸數(shù)列”，

數(shù)列{}前n項和，存在正整數(shù)，使得，所以{}是“回歸數(shù)列”，所以結(jié)論成立.