【題目】△ABC的外接圓半徑R= ,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且 =
(1)求角B和邊長b;
(2)求S△ABC的最大值及取得最大值時的a,c的值,并判斷此時三角形的形狀.
【答案】
(1)解:∵ ,
∴2sinAcosB﹣sinCcosB=sinBcosC,可得2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C),
∵在△ABC中,sin(B+C)=sin(π﹣A)=sinA>0,
∴2sinAcosB=sinA,可得cosB= .
又∵B∈(0,π),∴ ,
由正弦定理 ,可得b=2RsinB=2 sin =3
(2)解:∵b=3, ,
∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB,得a2+c2﹣ac=9,
因此,ac+9=a2+c2≥2ac,可得ac≤9,當且僅當a=c時等號成立,
∵S△ABC= = ,∴
由此可得:當且僅當a=c時,S△ABC有最大值 ,此時a=b=c=3,可得△ABC是等邊三角形
【解析】(1)運用兩角和的正弦公式將已知等式化簡整理,得到2sinAcosB=sin(B+C),根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式可得sin(B+C)=sinA>0,從而得出cosB= ,可得 ,最后由正弦定理加以計算,可得邊b的長;(2)由b=3且 ,利用余弦定理算出a2+c2﹣ac=9,再根據(jù)基本不等式算出ac≤9.利用三角形的面積公式算出S△ABC= ,從而得到當且僅當a=c時,S△ABC有最大值 ,進而得到此時△ABC是等邊三角形.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a、b、c、d∈R)滿足:x∈R都有f(x)+f(﹣x)=0,且x=1時,f(x)取極小值 .
(1)f(x)的解析式;
(2)當x∈[﹣1,1]時,證明:函數(shù)圖象上任意兩點處的切線不可能互相垂直:
(3)設(shè)F(x)=|xf(x)|,證明: 時, .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩隊參加聽歌猜歌名游戲,每隊3人.隨機播放一首歌曲,參賽者開始搶答,每人只有一次搶答機會(每人搶答機會均等),答對者為本隊贏得一分,答錯得零分.假設(shè)甲隊中每人答對的概率均為 ,乙隊中3人答對的概率分別為 , , ,且各人回答正確與否相互之間沒有影響.
(Ⅰ)若比賽前隨機從兩隊的6個選手中抽取兩名選手進行示范,求抽到的兩名選手在同一個隊的概率;
(Ⅱ)用ξ表示甲隊的總得分,求隨機變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(Ⅲ)求兩隊得分之和大于4的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列函數(shù)中,在區(qū)間(﹣1, )上單調(diào)遞減的函數(shù)為( )
A.y=x2
B.y=3x﹣1
C.y=log2(x+1)
D.y=﹣sinx
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足 為常數(shù)
(1)求函數(shù)f(x)的表達式;
(2)如果f(x)為偶函數(shù),求a的值;
(3)當f(x)為偶函數(shù)時,若方程f(x)=m有兩個實數(shù)根x1,x2;其中x1<0,0<x2<1;求實數(shù)m的范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】以下三個命題 ①設(shè)回歸方程為 =3﹣3x,則變量x增加一個單位時,y平均增加3個單位;
②兩個隨機變量的線性相關(guān)性越強,則相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1;
③在某項測量中,測量結(jié)果ξ服從正態(tài)分布N (1,σ2) (σ>0).若ξ在(0,1)內(nèi)取值的概率為0.4,則ξ在(0,2)內(nèi)取值的概率為0.8.
其中真命題的個數(shù)為( )
A.0
B.1
C.2
D.3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)g(x)=ax2﹣2ax+1+b(a>0)在區(qū)間[2,4]上的最大值為9,最小值為1,記f(x)=g(|x|).
(1)求實數(shù)a,b的值;
(2)若不等式f(log2k)>f(2)成立,求實數(shù)k的取值范圍.
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