Question

如圖，正方體的棱長為1，線段B′D′上有兩個動點E，F，EF=

1

2

，則下列結論中錯誤的是（　�。�

• A、AC⊥BE
• B、EF∥平面ABCD
• C、三棱錐A-BEF的體積為定值
• D、異面直線AE，BF所成角為定值

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用,棱柱、棱錐、棱臺的體積,異面直線及其所成的角,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的性質

專題：空間位置關系與距離

分析：由正方體的幾何特征結合線面垂直的判定證得AC⊥面BB′D′D，從而得到AC⊥BE；
由線面平行的判定證明EF∥平面ABCD；
三棱錐A-BEF的底面三角形BEF的面積為定值，高AO為定值，從而得到三棱錐A-BEF的體積為定值．
排除前三項后可得答案為D．

解答： 解：如圖，

∵AC′是正方體，
∴底面ABCD為正方形，連結AC，則AC⊥BD，
又BB′⊥底面ABCD，
∴BB′⊥AC，
BB′∩BD=B，
∴AC⊥面BB′D′D，
∴AC⊥BE．選項A正確；
∵EF∥BD，BD?面ABCD，EF?面ABCD，
∴EF∥面ABCD．選項B正確；
∵△BEF的底EF=

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，高為BB′=1，
∴S_△BEF為定值．
又三棱錐A-BEF的高為AO為定值，
∴三棱錐A-BEF的體積為定值．選項C正確；
∴不正確的選項為D．
故選：D．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，考查了空間點、線、面的位置關系，綜合考查了學生的空間想象能力和思維能力，是中檔題．