Question

8．正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DD₁與平面ACD₁所成的角的余弦值為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{2}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{6}}{3}$

Answer 1

分析 可分別以DA，DC，DD₁三直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，可設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為1，從而可以確定一些點(diǎn)滴坐標(biāo)，從而得出向量$\overrightarrow{D{D}_{1}}，\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{A{D}_{1}}$的坐標(biāo)，可設(shè)平面ACD₁的法向量為$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$．根據(jù)$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{A{D}_{1}}=0}\end{array}\right.$即可求出法向量$\overrightarrow{m}$，可設(shè)直線DD₁和平面ACD₁所成的角為θ，從而根據(jù)$sinθ=|cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{D{D}_{1}}＞|$即可求出sinθ，這樣便可求出cosθ．

解答 解：如圖，分別以邊DA，DC，DD₁所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體邊長(zhǎng)為1，則：
D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），D₁（0，0，1）；
∴$\overrightarrow{D{D}_{1}}=（0，0，1），\overrightarrow{AC}=（-1，1，0）$，$\overrightarrow{A{D}_{1}}=（-1，0，1）$；
設(shè)平面ACD₁的法向量為$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，則：
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=-x+y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{A{D}_{1}}=-x+z=0}\end{array}\right.$；
∴取x=1，則y=1，z=1，∴$\overrightarrow{m}=（1，1，1）$；
設(shè)DD₁與平面ACD₁所成角為θ，則：
sinθ=$|cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{D{D}_{1}}＞|=\frac{1}{1•\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$；
∴$cosθ=\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 考查建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求直線和平面所成角的方法，能確定空間點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求向量的坐標(biāo)，以及平面法向量的概念及求法，向量夾角余弦的坐標(biāo)公式，要弄清直線和平面所成角和直線方向向量和平面法向量夾角的關(guān)系．