Question

20．已知函數(shù)f（x）=$\frac{ax+1}{2-x}$（a≠0）．
（1）求f（x）的定義域與值域；
（2）討論f（x）在（2，+∞）上單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）定義域顯然得出為{x|x≠2}，然后可將原函數(shù)變成f（x）=-a$+\frac{2a+1}{2-x}$，從而值域便是{f（x）|f（x）≠-a}；
（2）寫出f（x）=$-a+\frac{2a+1}{2-x}$，這樣便看出要討論a的取值：a=$-\frac{1}{2}$時，顯然沒有單調(diào)性，而$a＞-\frac{1}{2}$，和$a＜-\frac{1}{2}$時，根據(jù)反比例函數(shù)的單調(diào)性即可判斷f（x）在（2，+∞）上的單調(diào)性．

解答 解：（1）2-x≠0；
∴x≠2；
∴函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x≠2}；
f（x）=$\frac{-a（2-x）+2a+1}{2-x}$=$-a+\frac{2a+1}{2-x}$；
$\frac{2a+1}{2-x}≠0$；
∴f（x）≠-a；
∴f（x）的值域?yàn)閧f（x）|f（x）≠-a}；
（2）f（x）=$-a+\frac{2a+1}{2-x}$；
①a=$-\frac{1}{2}$時，f（x）=-a，∴f（x）不具有單調(diào)性；
②a$＞-\frac{1}{2}$時，2a+1＞0，根據(jù)反比例函數(shù)的單調(diào)性知，f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增；
③a$＜-\frac{1}{2}$時，2a+1＜0，根據(jù)反比例函數(shù)的單調(diào)性知，f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評 考查函數(shù)定義域、值域的概念及求法，分離常數(shù)法的運(yùn)用，根據(jù)反比例函數(shù)單調(diào)性判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，注意a=$-\frac{1}{2}$時，f（x）沒有單調(diào)性．