Question

8．若函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$ax³-$\frac{1}{2}$（b+8）x²+2x（a＞0，b＜0）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞減，則（1-a）（b+1）的最大值為（　�。�

• A． $\frac{9}{2}$
• B． 4
• C． 2
• D． 0

Answer 1

分析 求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，由題意可得f′（x）≤0在區(qū)間[1，2]上恒成立，可得$\left\{\begin{array}{l}{a-b≤6}\\{2a-b≤7}\end{array}\right.$，作出不等式組在第四象限的可行域，再由目標(biāo)函數(shù)表示的雙曲線，結(jié)合直線與雙曲線相切，求得導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點(diǎn)，解方程可得切點(diǎn)，進(jìn)而得到所求最大值．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$ax³-$\frac{1}{2}$（b+8）x²+2x的導(dǎo)數(shù)為
f′（x）=ax²-（b+8）x+2，
由題意可得f′（x）≤0在區(qū)間[1，2]上恒成立，
即有$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）≤0}\\{f′（2）≤0}\end{array}\right.$，即為$\left\{\begin{array}{l}{a-b≤6}\\{2a-b≤7}\end{array}\right.$，（*）
以（a，b）為坐標(biāo)，作出不等式組（*）在第四象限的可行域，如圖．
令t=（1-a）（1+b），可得b=-1-$\frac{t}{a-1}$，
此函數(shù)的圖象為雙曲線，
當(dāng)直線b=2a-7與雙曲線b=-1-$\frac{t}{a-1}$相切時(shí)，t取得最大值，
設(shè)切點(diǎn)為（m，n），由b′=$\frac{t}{（a-1）^{2}}$，可得
2=$\frac{t}{（m-1）^{2}}$，n=2m-7=-1-$\frac{t}{m-1}$，
解得t=2，m=2，n=-3，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：判斷單調(diào)性和運(yùn)用，同時(shí)考查不等式組表示的平面區(qū)域，及目標(biāo)函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．