Question

13．設(shè)函數(shù)f（x）=x-alnx+$\frac{1-a}{x}$．
（Ⅰ）若a＞1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若a＞3，函數(shù)g（x）=a²x²+3，若存在x₁，x₂∈[$\frac{1}{2}$，2]，使得|f（x₁）-g（x₂）|＜9成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，確定導(dǎo)函數(shù)的符號，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）分別求出f（x）的最大值和g（x）的最小值，問題轉(zhuǎn)化為g（$\frac{1}{2}$）-f（1）＜9，求出a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域為（0，+∞），
f′（x）=$\frac{（x-1）[x-（a-1）]}{{x}^{2}}$，
令f′（x）=0，得x₁=1，x₂=a-1，（a＞1），
①當a-1＜1，即1＜a＜2時，函數(shù)f（x）在（0，a-1），（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（a-1，1）上單調(diào)遞減；
②當a-1=1，即a=2時，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
③當a-1＞1，即a＞2時，函數(shù)f（x）在（0，1），（a-1，+∞）上單調(diào)遞增，在（1，a-1）上單調(diào)遞減；
（Ⅱ）當a＞3，即a-1＞2時，函數(shù)f（x）在[$\frac{1}{2}$，1）上為增函數(shù)，在（1，2]上為減函數(shù)，
所以函數(shù)f（x）在x∈[$\frac{1}{2}$，2]上的最大值為f（1）=2-a＜0，
因為函數(shù)g（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上單調(diào)遞增，
所以g（x）的最小值為g（$\frac{1}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{4}$+3＞0，
所以g（x）＞f（x）在x∈[$\frac{1}{2}$，2]上恒成立，
要存在x₁，x₂∈[$\frac{1}{2}$，2]，使得|f（x₁）-g（x₂）|＜9成立，
只需要g（$\frac{1}{2}$）-f（1）＜9，
即$\frac{{a}^{2}}{4}$+3+a-2＜9，解得：-8＜a＜4，
又a＞3，所以a的取值范圍是（3，4）．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．