Question

已知函數(shù)f（x）對任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且當x＞0時f（x）＜0．
①判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性并證明；
②若f（1）=-2，f（x-1）＜-6，試求實數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：①設x₁＞x₂，則x₁-x₂＞0，利用f（a+b）=f（a）+f（b）可求得f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂），又當x＞0時，f（x）＜0，從而得f（x₁）＜f（x₂），可證明函數(shù)y=f（x）在R上單調(diào)遞減；
②先令x=y=1，求出f（2）的值，再令令x=1，y=2，求得f（3）=-6，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到不等式，解得即可．

解答： 解：①函數(shù)f（x）為減函數(shù)，理由如下，
設x₁＞x₂，則x₁-x₂＞0，而f（x+y）=f（x）+f（y），
∴f（x₁）-f（x₂）=f（（x₁-x₂）+x₂）-f（x₂）
=f（x₁-x₂）+f（x₂）-f（x₂）
=f（x₁-x₂），
又當x＞0時，f（x）＜0恒成立，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)y=f（x）是R上的減函數(shù)；
②令x=y=1，
則f（2）=2f（1）=-4，
令x=1，y=2，
則f（3）=f（1）+f（2）=-2-4=-6，
∵f（x-1）＜-6，
∴f（x-1）＜f（3），
又y=f（x）在R上是減函數(shù)，
∴x-1＞3
解得x＞2，
故x的取值范圍為（2，+∞）．

點評：本題考查抽象函數(shù)及其應用，著重考查函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，屬于中檔題．