Question

命題p：函數(shù)y=log_2+ax為減函數(shù)；命題q：關(guān)于x的方程x²-ax+

1

2

=0有解．若命題p和q中有且僅有一個(gè)為真命題，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合命題的真假

專題：簡易邏輯

分析：先根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，一元二次方程解的情況和判別式△的關(guān)系求出命題p，q下的a的取值范圍，由p，q中有且僅有一個(gè)為真命題得到p真q假，和p假q真兩種情況，然后求出每種情況下的a的取值范圍再求并集即可．

解答： 解：命題p：首先2+a＞0，且2+a≠1，即a＞-2，且a≠-1，
∵函數(shù)y=log_2+ax為減函數(shù)，∴0＜2+a＜1，-2＜a＜-1；
命題q：關(guān)于x的方程x2-ax+

1

2

=0有解，則：△=a²-2≥0，∴a≤-

2

，或a≥

2

；
若命題p和q中有且僅有一個(gè)為真命題，則：
p真q假時(shí)，

-2＜a＜-1 - 2 ＜a＜ 2

，解得-

2

＜a＜-1；
p假q真時(shí)，

a＞-1 a≤- 2 ，或a≥ 2

，解得a≥

2

；
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-

2

，-1)∪[

2

，+∞)．

點(diǎn)評：考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及一元二次方程的解的情況和判別式△的關(guān)系，并集的概念．