Question

已知f(x)=2sinxcosx+2

3

cos2x-1-

3

．
（1）求f（x）的最大值及此時(shí)x的值；  
（2）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數(shù)的二倍角公式進(jìn)行降次，再用輔助角公式合并，可得（x）=2sin（2x+

π

3

）-1，最后用正弦函數(shù)圖象與性質(zhì)，可得函數(shù)的最大值及此時(shí)x的值．
（2）由（1）的表達(dá)式，結(jié)合正弦函數(shù)單調(diào)區(qū)間的結(jié)論，解不等式并化簡(jiǎn)，即可得到f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答：解：（1）∵2sinxcosx=sin2x，2cos²x=1+cos2x
∴f(x)=2sinxcosx+2

3

cos2x-1-

3

=sin2x+

3

（1+cos2x）-1-

3

=sin2x+

3

cos2x-1
化簡(jiǎn)，得f（x）=2sin（2x+

π

3

）-1
∴當(dāng)2x+

π

3

=

π

2

+2kπ時(shí)，即x=

π

12

+kπ（k∈Z）時(shí)，函數(shù)有最大值1
（2）令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ，得-

5π

12

+kπ≤x≤

π

12

+kπ，（k∈Z）
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[-

5π

12

+kπ，

π

12

+kπ]（k∈Z）

點(diǎn)評(píng)：本題給出一個(gè)特殊三角函數(shù)表達(dá)式，叫我們求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間并求函數(shù)最大值，著重考查了二倍角的三角函數(shù)公式和輔助角公式，以及正弦函數(shù)單調(diào)性等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．