Question

14．若不等式x²-kx+k-1＞0對任意的k∈（1，3）恒成立，則實數(shù)x的取值范圍是（-∞，0]∪[2，+∞）．

Answer 1

分析 由題意可設(shè)f（k）=x²-kx+k-1，由一次函數(shù)的單調(diào)性，可得f（1）≥0，且f（2）≥0，由二次不等式的解法可得x的范圍．

解答 解：不等式x²-kx+k-1＞0對任意的k∈（1，3）恒成立，
可設(shè)f（k）=x²-kx+k-1，由一次函數(shù)的單調(diào)性，可得
$\left\{\begin{array}{l}{f（1）={x}^{2}-x≥0}\\{f（3）={x}^{2}-3x+2≥0}\end{array}\right.$即為$\left\{\begin{array}{l}{x≥1或x≤0}\\{x≥2或x≤1}\end{array}\right.$，
解得x≥2或x=1或x≤0．
檢驗x=1不成立，即有x的范圍是（-∞，0]∪[2，+∞）．
故答案為：（-∞，0]∪[2，+∞）．

點評 本題考查函數(shù)恒成立問題的解法，注意構(gòu)造一次函數(shù)，運用單調(diào)性解決，考查不等式的解法，屬于中檔題．