Question

已知函數(shù)f（x）=10^x，對(duì)于實(shí)數(shù)m、n、p有f（m+n）=f（m）+f（n），f（m+n+p）=f（m）+f（n）+f（p），則p的最大值等于

 

．

Answer 1

分析：由f（x）=10^x得：f（m+n）=f（m）f（n），依題意，可求得f（m）f（n）=f（m）+f（n），令f（m）f（n）=f（m）+f（n）=t，則f（m）、f（n）是x²-tx+t=0的解，利用△=t²-4t≥0，可求得t的范圍，進(jìn)一步可求得f（p）=

t

t-1

=1+

1

t-1

（t≥4），利用該函數(shù)的單調(diào)性即可求得f（p）的最大值，繼而可得p的最大值．

解答：解：由f（x）=10^x得：f（m+n）=f（m）f（n），
∵f（m+n）=f（m）+f（n），
∴f（m）f（n）=f（m）+f（n），
設(shè)f（m）f（n）=f（m）+f（n）=t，
則f（m）、f（n）是x²-tx+t=0的解，
∵△=t²-4t≥0，
∴t≥4或t≤0（舍去）．
又f（m+n+p）=f（m）f（n）f（p）=f（m）+f（n）+f（p），
∴tf（p）=t+f（p），
∴f（p）=

t

t-1

=1+

1

t-1

（t≥4），
顯然t越大，f（p）越小，
∴當(dāng)t=4時(shí)，f（p）取最大值

4

3

，又f（p）=10^p，
∴f（p）取到最大值時(shí)，p也取到最大值，即p_max=lg

4

3

=2lg2-lg3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)的性質(zhì)，著重考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求得f（m）f（n）=f（m）+f（n）之后，設(shè)f（m）f（n）=f（m）+f（n）=t，構(gòu)造方程，f（m）、f（n）是x²-tx+t=0的解是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，考查創(chuàng)新思維與綜合分析與運(yùn)算能力，屬于難題．