Question

28、已知函數(shù)f（x）=ax³-6ax²+b，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)a、b使f（x）在[-1，2]上取得最大值3，最小值-29，若存在，求出a、b的值．并指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：要求是否存在a、b使f（x）在[-1，2]上取得最大值3，最小值-29，分兩種情況a＞0，a＜0討論函數(shù)的增減性利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值的方法得出a的值即可．

解答：解：a≠0時(shí)，f′（x）=3ax²-12ax=3a（x²-4x）
令f′（x）=0，得x=0，或x=4∉[-1，2]（舍）
①a＞0時(shí)，如下表

∴當(dāng)x=0時(shí)，f（x）取得最大值，∴b=3；
②a＜0時(shí)，如下表

∴當(dāng)x=0時(shí)，f（x）取得最小值，∴b=-29
又f（2）=-16a-29，f（-1）=-7a-29＜f（2）
∴當(dāng)x=2時(shí)，f（x）取得最大值，∴-16a-29=3，a=-2，
綜上：a=2，b=3或a=-2，b=-29．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值的能力．分類討論的數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用．