Question

拋物線y=-x²+4上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線y=kx+3對(duì)稱，則k的取值范圍是________．

Answer 1

k＜-或k＞
分析：設(shè)兩對(duì)稱點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由條件可設(shè)AB方程為：y=-x+m，與拋物線方程y=-x²+4消去y得關(guān)于x的一元二次方程，則△＞0①，由韋達(dá)定理可表示AB中點(diǎn)橫坐標(biāo)，代入y=kx+3得其縱坐標(biāo)，再代入AB方程得m與k的方程=-+m②，聯(lián)立①②即可求得k的取值范圍．
解答：設(shè)兩對(duì)稱點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則直線AB與直線y=kx+3對(duì)稱，
易知k≠0，設(shè)AB方程為：y=-x+m，
由得，則△=0①，
x₁+x₂=，則AB中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，代入y=kx+3得y=k•+3=，所以AB中點(diǎn)坐標(biāo)為（，），
又中點(diǎn)在直線AB上，所以=-•+m，即=-+m②，
由②得m=（+），代入①解得k＜-或k＜-，
所以k的取值范圍為：k＜-或kk＞\frac{\sqrt{2}}{2}或k＞\frac{\sqrt{2}}{2}
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查軸對(duì)稱問題，本題采用“方程、不等式”法，解決本題的關(guān)鍵是用數(shù)學(xué)式子充分刻畫條件：兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱．