在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足a=2sinA，
cosB
cosC
+
2a
c
+
b
c
=0．
（Ⅰ）求邊c的大��；  
（Ⅱ）求△ABC面積的最大值．
分析：（Ⅰ）已知第二個等式去分母變形后，利用正弦定理化簡，求出cosC的值，確定出C的度數(shù)，再利用正弦定理即可求出邊c的大�。�
（Ⅱ）由c，cosC的值，利用余弦定理列出關(guān)系式，再利用基本不等式求出ab的最大值，利用面積公式即可求出三角形ABC面積的最大值．
解答：解：（Ⅰ）∵
cosB
cosC
+
2a
c
+
b
c
=0，
∴ccosB+2acosC+bcosC=0，
由正弦定理化簡得：sinCcosB+sinBcosC+2sinAcosC=0，
即sin（B+C）+2sinAcosC=0，
整理得：sinA+2sinAcosC=0，
∵sinA≠0，
∴cosC=-
1
2
，
∴C=
2π
3
，
∴c=
asinC
sinA
=
3
；
（Ⅱ）∵c=
3
，cosC=-
1
2
，
∴cosC=-
1
2
=
a2+b2-3
2ab
，
∴a2+b2+ab=3，
∵a2+b2≥2ab，
∴3ab≤3，
∴S△ABC=
1
2
absinC≤
3
4
，
則△ABC面積的最大值為
3
4
．
點評：此題考查了正弦、余弦定理，三角形的面積公式，以及基本不等式的運用，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，若b2+c2-a2=
3
bc，且b=
3
a，則下列關(guān)系一定不成立的是（　�。�
A、a=c
B、b=c
C、2a=c
D、a2+b2=c2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知B=60°，cos（B+C）=-
1114
．
（1）求cosC的值；
（2）若bcosC+acosB=5，求△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且bsinA=
3
acosB．
（1）求角B的大��；
（2）若a=4，c=3，D為BC的中點，求△ABC的面積及AD的長度．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c并且滿足
b
a
=
sinB
cosA
．
（1）求∠A的值；
（2）求用角B表示
2
sinB-cosC，并求它的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，且a=
5
，b=3，sinC=2sinA，則sinA=
 
．

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