Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，O是底面ABCD對角線的交點．
（1）求證：A₁C⊥平面AB₁D₁；
（2）求直線AC與平面AB₁D₁所成角的正切值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）連結A₁C₁，A₁C，由正方形性質得B₁D₁⊥A₁C₁，由線面垂直得B₁D₁⊥CC₁，從而B₁D₁⊥平面A₁C₁C，進而A₁C⊥B₁D₁，同理可證A₁C⊥AB₁，由此能證明A₁C⊥平面AB₁D₁．
（2）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，求出

AC

=（-1，1，0）和平面AB₁D₁的法向量，利用向量法求出直線AC與平面AB₁D₁所成角的正弦值，再由同角三角函數(shù)間的關系能求出直線AC與平面AB₁D₁所成角的正切值．

解答： （1）證明：連結A₁C₁，A₁C，
∵A₁B₁C₁D₁是正方形，∴B₁D₁⊥A₁C₁，
∵CC₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，B₁D₁?平面A₁B₁C₁D₁，
∴B₁D₁⊥CC₁，又A₁C₁∩CC₁=C₁，∴B₁D₁⊥平面A₁C₁C，
又A₁C?平面A₁C₁C，∴A₁C⊥B₁D₁，
同理可證A₁C⊥AB₁，
又AB₁∩B₁D₁=B₁，∴A₁C⊥平面AB₁D₁．
（2）解：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，
建立空間直角坐標系，設正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，
A（1，0，0），C（0，1，0），B₁（1，1，1），
D₁（0，0，1），

AC

=（-1，1，0），

AB1

=（0，1，1），

AD1

=（-1，0，1），
設平面AB₁D₁的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • AB1 =y+z=0 n • AD1 =-x+z=0

，取x=1，得

n

=（1，-1，1），
設直線AC與平面AB₁D₁所成角為θ，
則sinθ=|cos＜

n

，

AC

＞|=|

n • AC

| n |•| AC |

|=|

-1-1

2 × 3

|=

6

3

，
∴cosθ=

1-( 6 3 )2

=

3

3

，
∴tanθ=

sinθ

cosθ

=

6 3

3 3

=

2

，
∴直線AC與平面AB₁D₁所成角的正切值為

2

．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查直線與平面所成角的正切值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．