Question

過點(diǎn)M（1，1）斜率為-

1

2

的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，若M為AB中點(diǎn)，則e=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入橢圓方程，兩式相減，由于平方差公式，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式和斜率公式，可得a²=2b²，再由a，b，c的關(guān)系和離心率公式，即可得到．

解答： 解：設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則有

x12

a2

+

y12

b2

=1，

x22

a2

+

y22

b2

=1，
兩式相減可得，

(x1-x2)(x1+x2)

a2

+

(y1-y2)(y1+y2)

b2

=0，
由于M為AB中點(diǎn)，則有x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，
則k_AB=

y1-y2

x1-x2

=-

b2

a2

=-

1

2

，
即a²=2b²=2（a²-c²），則a=

2

c，
則有e=

c

a

=

2

2

．
故答案為：

2

2

．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查離心率的求法，考查點(diǎn)差法解決中點(diǎn)弦的問題，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．