已知函數(shù)f(x)=ax+ln x(a∈R).

(1)若a=1,求曲線y=f(x)在x=處切線的斜率;

(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(3)設(shè)g(x)=2x,若對任意x1∈(0,+∞),存在x2∈[0,1],使f(x1)<g(x2),

求實數(shù)a的取值范圍.

解:(1)f′(x)=1+(x>0),f′()=1+2=3.

故曲線yf(x)在x處切線的斜率為3.

(2)f′(x)=a(x>0).

①當(dāng)a≥0時,由于x>0,故ax+1>0,f′(x)>0,

所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞);

②當(dāng)a<0時,由f′(x)=0,得x=-,

在區(qū)間f′(x)>0,在區(qū)間f′(x)<0.所以,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為.

(3)由題可知,若對任意x1∈(0,+∞),均存在x2∈[0,1],使得f(x1)<g(x2),轉(zhuǎn)化為[f(x)]max<[g(x)]max,而[g(x)]max=2.

由(2)知,當(dāng)a≥0時,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,值域為R,故不符合題意.(或者舉出反例:存在f(e3)=ae3+3>2,故不符合題意.)

當(dāng)a<0時,f(x)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,

f(x)的極大值即為最大值,f=-1+ln=-1-ln(-a),所以2>-1-ln(-a),解得a<-.

所以,a的取值范圍為

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已知函數(shù)f(x)=a

 

(1)求證:函數(shù)yf(x)在(0,+∞)上是增函數(shù);

 

(2)f(x)<2x在(1,+∞)上恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

 

 

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