Question

已知函數(shù)f（x）=alnx+

2(1-x)

1+x

（a∈R）定義域?yàn)椋?，1），則f（x）的圖象不可能是（　�。�

• A、
• B、
• C、
• D、

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的圖象

專(zhuān)題：高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：已知函數(shù)f（x）=alnx+

2(1-x)

1+x

（a∈R），在函數(shù)式中含有參數(shù)，所以本題在定義域內(nèi)對(duì)參數(shù)的討論是本題的重點(diǎn)，可以對(duì)參數(shù)a分以下幾種情況進(jìn)行討論①a=0②a＜0③a＞0根據(jù)不同的情況進(jìn)行具體分析

解答： 解：已知函數(shù)f（x）=alnx+

2(1-x)

1+x

（a∈R），定義域?yàn)椋?，1），下面把參數(shù)分以下三種情況進(jìn)行討論：
（1）當(dāng)a=0 函數(shù)f（x）=alnx+

2(1-x)

1+x

轉(zhuǎn)化為f（x）=

2(1-x)

1+x

對(duì)定義域（0，1）內(nèi)的每一個(gè)x代入關(guān)系式得到，f（x）＞0．故A符合
（2）當(dāng)a＜0 用單調(diào)性來(lái)進(jìn)行討論 由于函數(shù)lnx在定義域（0，1）內(nèi)為增函數(shù)，則alnx為減函數(shù)
同時(shí)

2(1-x)

1+x

=

4

1+x

-2也為減函數(shù)，所以函數(shù)f（x）為減函數(shù)，故A符合
（3）當(dāng)a＞0 利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來(lái)討論，已知f（x）=alnx+

2(1-x)

1+x

，
則f′（x）=

a

x

+

-4

(1+x)2

=

ax2+(2a-4)x+a

x(1+x)2

，令f′（x）=0 即ax²+（2a-4）x+a=0
則△=16-16a下面再分三種情況討論
①當(dāng)a=1，f′（x）=

x2-2x+1

x(1+x)2

=

(x-1)2

x(1+x)2

＞0 則函數(shù)f（x）為增函數(shù)
故B符合
②當(dāng)1＞a＞0時(shí)ax²+（2a-4）x+a=0存在兩根x₁=

(2-a)+2 1-a

a

，x₂=

(2-a)-2 1-a

a

，由于1＞a＞0則 得到1＞x₁＞0，x₂＞1 
當(dāng)x₁＞x＞0函數(shù)圖象為增函數(shù)  當(dāng)x₁＜x＜1時(shí)為減函數(shù)
故C符合
③當(dāng)a＞1時(shí) f′（x）＞0恒成立
故B符合
通過(guò)以上討論，排除得到答案應(yīng)D．

點(diǎn)評(píng)：本題利用的知識(shí)點(diǎn)較多，通過(guò)函數(shù)的值，函數(shù)的單調(diào)性，以及導(dǎo)數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論難度較大．分類(lèi)討論是解決本題的關(guān)鍵