Question

已知f（x）=sinx+acosx，
（1）若a=

3

，求f（x）的最大值及對應的x的值．
（2）若f（

π

4

）=0，f（x）=

1

5

（0＜x＜π），求tanx的值．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數,三角函數線

專題：三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：（1）a=

3

時，利用兩角和的正弦值化簡f（x），求出x取何值時f（x）有最大值；
（2）由f（

π

4

）=0求出a的值，再由f（x）=

1

5

，求出cosx、sinx的值，從而求出tanx的值．

解答： 解：（1）a=

3

時，
f（x）=sinx+

3

cosx
=2sin（x+

π

3

），…（2分）
當sin（x+

π

3

）=1，
即x+

π

3

=

π

2

+2kπ（k∈Z），
∴x=

π

6

+2kπ（k∈Z）時，
f（x）有最大值2； …（6分）
（2）∵f（

π

4

）=sin

π

4

+acos

π

4

=

2

2

+

2

2

a=0，
∴a=-1；…（8分）
∴f（x）=sinx-cosx=

1

5

，
∴(sinx-cosx)2=

1

25

，
∴sinx•cosx=

12

25

，
即（cosx+

1

5

）cosx=

12

25

； 
整理得，25cos²x+5cosx-12=0，
解得，cosx=

3

5

，或cosx=-

4

5

；
當cosx=

3

5

時，sinx=

4

5

，
當cosx=-

4

5

時，sinx=-

3

5

；
又∵x∈（0，π）∴取

cosx= 3 5 sinx= 4 5

；
∴tanx=

4

3

．…（14分）

點評：本題考查了三角恒等變換的應用問題以及三角函數求值的問題，也考查了一定的計算能力，是較基礎題．