Question

在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，BB₁=BC=1，E為D₁C₁的中點(diǎn)，連接ED，EC，EB和DB．
（Ⅰ）求證：平面EDB⊥平面EBC；
（Ⅱ）求二面角E-DB-C的正切值；
（Ⅲ）求C到面EDB的距離．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先由BC⊥平面D₁DCC₁?BC⊥DE．再利用△DD₁E為等腰直角三角形?∠D₁ED=45°以及∠C₁EC=45°可得DE⊥EC，合在一起可得平面EDB⊥平面EBC；
（Ⅱ）先過E在平面D₁DCC₁中作EO⊥DC于O?EO⊥面ABCD；再O在平面DBC中作OF⊥DB于F，利用三垂線定理極其逆定理可得EF⊥BD．所以∠EFO為二面角E-DB-C的平面角．再利用平面幾何知識求出∠EFO的正切值即可；
（Ⅲ）由V_E-DBC=V_C-DBE，利用等體積法來求C到面EDB的距離即可．

解答：解：
（Ⅰ）證明：在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
AB=2，BB₁=BC=1，E為D₁C₁的中點(diǎn)．
∴△DD₁E為等腰直角三角形，∠D₁ED=45°．同理∠C₁EC=45°．
∴∠DEC=90°，即DE⊥EC．
在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BC⊥平面D₁DCC₁，又DE?平面D₁DCC₁，
∴BC⊥DE．又EC∩BC=C，∴DE⊥平面EBC．
∵DE?平面DEB，∵平面DEB⊥平面EBC．
（Ⅱ）如圖，過E在平面D₁DCC₁中作EO⊥DC于O．
在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∵面ABCD⊥面D₁DCC₁，∴EO⊥面ABCD．
過O在平面DBC中作OF⊥DB于F，
連接EF∴EF⊥BD．
∠EFO為二面角E-DB-C的平面角．
利用平面幾何知識可得OF=

1

5

，OE=1，tan∠EFO=

5

．
所以二面角E-DB-C的正切值為

5

．
（Ⅲ）等體積法：
∵V_E-DBC=V_C-DBE，
∴

1

3

•

1

2

•BC•CD•EO=

1

3

•

1

2

•BD•EF•d
?1×2×1=

5

×

6 5

×d
∴d=

6

3

故C到面EDB的距離為

6

3

．

點(diǎn)評：本題綜合考查了面面垂直的判定以及二面角的求法和點(diǎn)到面的距離計(jì)算．在求點(diǎn)到面的距離時(shí)，如果直接法不好求的話，一般轉(zhuǎn)化為棱錐的高利用等體積法來求．