【題目】如圖,在直四棱柱中,底面是邊長(zhǎng)為2的正方形, 分別為線段, 的中點(diǎn).
(1)求證: ||平面;
(2)四棱柱的外接球的表面積為,求異面直線與所成的角的大小.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】試題分析:(1)連接BD1,由中位線定理證明EF∥D1B,由線面平行的判定定理證明EF∥平面ABC1D1;
(2)由(1)和異面直線所成角的定義,得異面直線EF與BC所成的角是∠D1BC,由題意和球的表面積公式求出外接球的半徑,由勾股定理求出側(cè)棱AA1的長(zhǎng),由直四棱柱的結(jié)構(gòu)特征和線面垂直的定義,判斷出BC⊥CD1,在RT△CC1D1中求出tan∠D1BC,求出∠D1BC可得答案.
試題解析:
(1)連接,在中, 分別為線段的中點(diǎn),∴為中位線,
∴,而面, 面,∴平面.
(2)由(1)知,故即為異面直線與所成的角.
∵四棱柱的外接球的表面積為,
∴四棱柱的外接球的半徑,
設(shè),則,解得,
在直四棱柱中,∵平面, 平面,
∴,在中, ,
∴,
∴異面直線與所成的角為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=(xR),g(x)=2a-1
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值.
(2)若f(x)≥g(x)對(duì)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C: =1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F,上頂點(diǎn)為A,短軸長(zhǎng)為2,O為原點(diǎn),直線AF與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為B,且△AOF的面積是△BOF的面積的3倍.
(1)求橢圓C的方程;
(2)如圖,直線l:y=kx+m與橢圓C相交于P,Q兩點(diǎn),若在橢圓C上存在點(diǎn)R,使OPRQ為平行四邊形,求m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】全國(guó)大學(xué)生機(jī)器人大賽是由共青團(tuán)中央,全國(guó)學(xué)聯(lián),深圳市人民政府聯(lián)合主辦的賽事,是中國(guó)最具影響力的機(jī)器人項(xiàng)目,是全球獨(dú)創(chuàng)的機(jī)器人競(jìng)技平臺(tái).全國(guó)大學(xué)生機(jī)器人大賽比拼的是參賽選手們的能力,堅(jiān)持和態(tài)度,展現(xiàn)的是個(gè)人實(shí)力以及整個(gè)團(tuán)隊(duì)的力量.2015賽季共吸引全國(guó)240余支機(jī)器人戰(zhàn)隊(duì)踴躍報(bào)名,這些參賽戰(zhàn)隊(duì)來自全國(guó)六大賽區(qū),150余所高等院校,其中不乏北京大學(xué),清華大學(xué),上海交大,中國(guó)科大,西安交大等眾多國(guó)內(nèi)頂尖高校,經(jīng)過嚴(yán)格篩選,最終由111支機(jī)器人戰(zhàn)隊(duì)參與到2015年全國(guó)大學(xué)生機(jī)器人大賽的激烈角逐之中,某大學(xué)共有“機(jī)器人”興趣團(tuán)隊(duì)1000個(gè),大一、大二、大三、大四分別有100,200,300,400個(gè),為挑選優(yōu)秀團(tuán)隊(duì),現(xiàn)用分層抽樣的方法,從以上團(tuán)隊(duì)中抽取20個(gè)團(tuán)隊(duì).
(1)應(yīng)從大三抽取多少個(gè)團(tuán)隊(duì)?
(2)將20個(gè)團(tuán)隊(duì)分為甲、乙兩組,每組10個(gè)團(tuán)隊(duì),進(jìn)行理論和實(shí)踐操作考試(共150分),甲、乙兩組的分?jǐn)?shù)如下:
甲:125,141,140,137,122,114,119,139,121,142
乙:127,116,144,127,144,116,140,140,116,140
從甲、乙兩組中選一組強(qiáng)化訓(xùn)練,備戰(zhàn)機(jī)器人大賽.從統(tǒng)計(jì)學(xué)數(shù)據(jù)看,若選擇甲組,理由是什么?若選擇乙組,理由是什么?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,三棱錐A-BCD中,AB⊥平面BCD,CD⊥BD .
(1)求證:CD⊥平面ABD;
(2)若AB=BD=CD=1,M為AD中點(diǎn),求三棱錐A-MBC的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列四組函數(shù),表示同一函數(shù)的是( )
A.f(x)= ,g(x)=x
B.f(x)=x,g(x)=
C.f(x)= ,g(x)=
D.(x)=|x+1|,g(x)=
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若關(guān)于x的方程x2﹣(a2+b2﹣6b)x+a2+b2+2a﹣4b+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1 , x2滿足x1≤0≤x2≤1,則a2+b2+4a的最小值和最大值分別為( )
A. 和5+4
B.﹣ 和5+4
C.﹣ 和12
D.﹣ 和15﹣4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形,DE⊥平面ABCD,AF∥DE,DE=3AF,BE與平面ABCD所成角為60°.
(1)求證:AC⊥平面BDE;
(2)設(shè)點(diǎn)M是線段BD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),試確定點(diǎn)M的位置,使得AM∥平面BEF,并證明你的結(jié)論.
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