【題目】已知橢圓C: =1(a>b>0)的右焦點為F,上頂點為A,短軸長為2,O為原點,直線AF與橢圓C的另一個交點為B,且△AOF的面積是△BOF的面積的3倍.
(1)求橢圓C的方程;
(2)如圖,直線l:y=kx+m與橢圓C相交于P,Q兩點,若在橢圓C上存在點R,使OPRQ為平行四邊形,求m的取值范圍.
【答案】
(1)解:短軸長為2,可得b=1,
即有A(0,1),設(shè)F(c,0),B(x0,y0),
△AOF的面積是△BOF的面積的3倍,
即為 c1=3
c|y0|,
可得y0=﹣ ,由直線AF:y=﹣
+1經(jīng)過B,
可得x0= c,即B(
c,﹣
),代入橢圓方程可得,
+
=1,即為a2=2c2,即有a2=2b2=2,
則橢圓方程為 +y2=1
(2)解:設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),
由OPRQ為平行四邊形,可得x1+x2=xR,y1+y2=yR,
R在橢圓C上,可得 +(y1+y2)2=1,
即為 +(k(x1+x2)+2m)2=1,
化為(1+2k2)((x1+x2)2+8km(x1+x2)+8m2=2,①
由 可得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣2=0,
由△=16k2m2﹣4(1+2k2)(2m2﹣2)>0,即為1+2k2>m2,②
x1+x2=﹣ ,代入①可得
﹣
+8m2=2,
化為1+2k2=4m2,代入②可得m≠0,
又4m2=1+2k2≥1,解得m≥ 或m≤﹣
.
則m的取值范圍是(﹣∞,﹣ ]∪[
,+∞)
【解析】(1)由題意可得b=1,A(0,1),設(shè)F(c,0),B(x0 , yspan>0),運用三角形的面積公式可得y0=﹣ ,再由直線AF的方程經(jīng)過B,可得B的坐標,代入橢圓方程,解得a,b,進而得到橢圓方程;(2)設(shè)P(x1 , y1),Q(x2 , y2),由OPRQ為平行四邊形,可得x1+x2=xR , y1+y2=yR , R在橢圓C上,代入橢圓方程,再由直線l與橢圓方程聯(lián)立,運用韋達定理和判別式大于0,化簡整理,解不等式即可得到所求m的范圍.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在四棱錐中,底面
為正方形,
底面
,
為棱
的中點.
(1)證明: ;
(2)求直線與平面
所成角的正弦值;
(3)若為
中點,棱
上是否存在一點
,使得
,若存在,求出
的值,若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校有兩個參加國際中學(xué)生交流活動的代表名額,為此該學(xué)校高中部推薦2男1女三名候選人,初中部也推薦了1男2女三名候選人。若從6名學(xué)生中人選2人做代表。
求:(1)選出的2名同學(xué)來自不同年相級部且性別同的概率;
(2)選出的2名同學(xué)都來自高中部或都來自初中部的概率。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知從橢圓的一個焦點看兩短軸端點所成視角為
,且橢圓經(jīng)過
.
(1)求橢圓的方程;
(2)是否存在實數(shù),使直線
與橢圓有兩個不同交點
,且
(
為坐標原點),若存在,求出
的值.不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是直角三角形,∠ACB=90°,點B1在底面內(nèi)的射影恰好是BC的中點,且BC=CA=2.
(1)求證:平面ACC1A1⊥平面B1C1CB;
(2)若二面角B﹣AB1﹣C1的余弦值為 ,求斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)棱AA1的長度.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:
的上下兩個焦點分別為
,
,過點
與
軸垂直的直線交橢圓
于
、
兩點,
的面積為
,橢圓
的離心力為
.
(Ⅰ)求橢圓的標準方程;
(Ⅱ)已知為坐標原點,直線
:
與
軸交于點
,與橢圓
交于
,
兩個不同的點,若存在實數(shù)
,使得
,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的首項(a是常數(shù)),
(
).
(1)求,
,
,并判斷是否存在實數(shù)a使
成等差數(shù)列.若存在,求出
的通項公式;若不存在,說明理由;
(2)設(shè),
(
),
為數(shù)列
的前n項和,求
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直四棱柱中,底面
是邊長為2的正方形,
分別為線段
,
的中點.
(1)求證: ||平面
;
(2)四棱柱的外接球的表面積為
,求異面直線
與
所成的角的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示的自動通風(fēng)設(shè)施.該設(shè)施的下部是等腰梯形,其中
為2米,梯形的高為1米,
為3米,上部
是個半圓,固定點
為
的中點.
是由電腦控制可以上下滑動的伸縮橫桿(橫桿面積可忽略不計),且滑動過程中始終保持和
平行.當(dāng)
位于
下方和上方時,通風(fēng)窗的形狀均為矩形
(陰影部分均不通風(fēng)).
(1)設(shè)與
之間的距離為
(
且
)米,試將通風(fēng)窗的通風(fēng)面積
(平方米)表示成關(guān)于
的函數(shù)
;
(2)當(dāng)與
之間的距離為多少米時,通風(fēng)窗的通風(fēng)面積
取得最大值?
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