【題目】已知橢圓C: =1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F,上頂點(diǎn)為A,短軸長(zhǎng)為2,O為原點(diǎn),直線(xiàn)AF與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為B,且△AOF的面積是△BOF的面積的3倍.
(1)求橢圓C的方程;
(2)如圖,直線(xiàn)l:y=kx+m與橢圓C相交于P,Q兩點(diǎn),若在橢圓C上存在點(diǎn)R,使OPRQ為平行四邊形,求m的取值范圍.

【答案】
(1)解:短軸長(zhǎng)為2,可得b=1,

即有A(0,1),設(shè)F(c,0),B(x0,y0),

△AOF的面積是△BOF的面積的3倍,

即為 c1=3 c|y0|,

可得y0=﹣ ,由直線(xiàn)AF:y=﹣ +1經(jīng)過(guò)B,

可得x0= c,即B( c,﹣ ),代入橢圓方程可得,

+ =1,即為a2=2c2,即有a2=2b2=2,

則橢圓方程為 +y2=1


(2)解:設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),

由OPRQ為平行四邊形,可得x1+x2=xR,y1+y2=yR,

R在橢圓C上,可得 +(y1+y22=1,

即為 +(k(x1+x2)+2m)2=1,

化為(1+2k2)((x1+x22+8km(x1+x2)+8m2=2,①

可得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣2=0,

由△=16k2m2﹣4(1+2k2)(2m2﹣2)>0,即為1+2k2>m2,②

x1+x2=﹣ ,代入①可得 +8m2=2,

化為1+2k2=4m2,代入②可得m≠0,

又4m2=1+2k2≥1,解得m≥ 或m≤﹣

則m的取值范圍是(﹣∞,﹣ ]∪[ ,+∞)


【解析】(1)由題意可得b=1,A(0,1),設(shè)F(c,0),B(x0 , yspan>0),運(yùn)用三角形的面積公式可得y0=﹣ ,再由直線(xiàn)AF的方程經(jīng)過(guò)B,可得B的坐標(biāo),代入橢圓方程,解得a,b,進(jìn)而得到橢圓方程;(2)設(shè)P(x1 , y1),Q(x2 , y2),由OPRQ為平行四邊形,可得x1+x2=xR , y1+y2=yR , R在橢圓C上,代入橢圓方程,再由直線(xiàn)l與橢圓方程聯(lián)立,運(yùn)用韋達(dá)定理和判別式大于0,化簡(jiǎn)整理,解不等式即可得到所求m的范圍.

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