已知向量
a
=(cos
3x
2
，sin
3x
2
)，
b
=(cos
x
2
，-sin
x
2
)，且x∈[
π
2
，π]
（1）若|
a
+
b
|＞
3
，求x的范圍；
（2）f(x)=
a
•
b
+|
a
+
b
|，若對(duì)任意x1，x2∈[
π
2
，π]，恒有|f（x1）-f（x2）|＜t，求t的取值范圍．
分析：（1）由向量加法的坐標(biāo)運(yùn)算求出
a
+
b
，進(jìn)一步求出|
a
+
b
|，然后解三角不等式求x的范圍；
（2）把
a
•
b
，和
a
+
b
代入f(x)=
a
•
b
+|
a
+
b
|，整理后求出函數(shù)在[
π
2
，π]上的最值，求出兩最值差的絕對(duì)值后可得t的范圍．
解答：解：（1）∵
a
=(cos
3x
2
，sin
3x
2
)，
b
=(cos
x
2
，-sin
x
2
)，
∴
a
•
b
=(cos
3x
2
，sin
3x
2
)•(cos
x
2
，-sin
x
2
)=cos
3x
2
cos
x
2
-sin
3x
2
sin
x
2
=cos2x，
|
a
+
b
|=
(cos
3x
2
+cos
x
2
)2+(sin
3x
2
-sin
x
2
)2
=
2+2cos2x
=2|cosx|，
∵x∈[
π
2
，π]，∴|
a
+
b
|=-2cosx，
由-2cosx＞
3
?cosx＜-
3
2
，
∵x∈[
π
2
，π]，∴
5π
6
＜x≤π；
（2）∵f(x)=
a
•
b
+|
a
+
b
|
∴f(x)=cos2x-2cosx=2(cosx-
1
2
)2-
3
2

∵-1≤cosx≤0，
∴-1≤f（x）≤3?|f（x1）-f（x2）|≤|3-（-1）|=4，
∴t＞4．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，考查了向量的模，問(wèn)題（1）訓(xùn)練了三角不等式的解法，（2）考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，把對(duì)任意x1，x2∈[
π
2
，π]恒有|f（x1）-f（x2）|＜t成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，此題是中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
a
=(-cosα，1+sinα)，
b
=(2sin2
α
2
，sinα)．
（Ⅰ）若|
a
+
b
|=
3
，求sin2α的值；
（Ⅱ）設(shè)
c
=(cosα，2)，求(
a
+
c
)•
b
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
a
=(cosωx-sinωx，sinωx)，
b
=(-cosωx-sinωx，2
3
cosωx)，其中ω＞0，且函數(shù)f(x)=
a
•
b
+λ（λ為常數(shù)）的最小正周期為π．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的圖象的對(duì)稱軸；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(
π
4
，0)，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，
5π
12
]上的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
a
=(cos
θ
2
，sin
θ
2
)，
b
=(2，1)，且
a
⊥
b
．
（1）求tanθ的值；
（2 ）求
cos2θ
2
cos(
π
4
+θ)•sinθ
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
a
=(cos(ωx-
π
6
)，  sin(ωx-
π
4
))，  
b
=(sin(
2
3
π-ωx)， sin(ωx+
π
4
))（其中ω＞0）．若函數(shù)f(x)=2
a
•
b
-1的圖象相鄰對(duì)稱軸間距離為
π
2
．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-
π
12
，  
π
2
]上的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
a
=(cosθ，sinθ)，
b=
(cos2θ-1，sin2θ)，
c
=(cos2θ，sin2θ-
3
)．其中θ≠kπ，k∈Z．
（1）求證：
a
⊥
b
；
（2）設(shè)f(θ)=
a
•
c
，且θ∈(0，π)，求f(θ)的值域．

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