Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+6與x軸交于AB兩點(diǎn)與y軸交點(diǎn)C，已知A（-1，0）、B（3，0）．
（1）求拋物線及直線BC的解析式；
（2）若P為拋物線上位于直線BC上方的一點(diǎn)，求△PBC面積S的最大值并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）直線BC與拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)D，M為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N在x軸上，若以點(diǎn)DAMN為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求出所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)M．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）由于拋物線y=ax²+bx+6與x軸交于A，B兩點(diǎn)，可得-1，3是一元二次方程ax²+bx+6=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得a，b，可得拋物線的解析式，令x=0，即可得出點(diǎn)C的縱坐標(biāo)．
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)P的拋物線的與直線BC平行的切線方程為2x+y+m=0．與拋物線的方程聯(lián)立可得2x²-6x-6-m=0，令△=0，解得m，即可得出P點(diǎn)坐標(biāo)．利用點(diǎn)到直線的距離公式可得點(diǎn)P到直線BC的距離h．又|BC|=

32+62

=3

5

．可得△PBC面積S的最大值=

1

2

×|BC|×h．
（3）拋物線的對(duì)稱(chēng)軸x=1，代入直線BC的方程可得y=4，可得D（1，4）．設(shè)N（n，0），M（x，-2x²+4x+6），則

AD

=（2，4），

MN

=（n-x，2x²-4x-6）．
∵以點(diǎn)DAMN為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，可得

AD

=

MN

，利用向量相等即可得出．

解答： 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+6與x軸交于A，B兩點(diǎn)，
∴-1，3是一元二次方程ax²+bx+6=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴

-1+3=- b a -1×3= 6 a

，解得a=-2，b=4．
∴拋物線的方程為y=-2x²+4x+6，
令x=0，可得y_C=6．
∴C（0，6），
∴直線BC的方程為

x

3

+

y

6

=1，化為 2x+y-6=0．
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)P的拋物線的與直線BC平行的切線方程為2x+y+m=0．
聯(lián)立

2x+y+m=0 y=-2x2+4x+6

，化為2x²-6x-6-m=0，
令△=36-8（-6-m）=0，解得m=-

21

2

．
代入上述方程可得2x²-6x-6+

21

2

=0，
化為（2x-3）²=0，解得x=

3

2

，
∴y=-2×

3

2

-(-

21

2

)=

15

2

．
∴P(

3

2

，

15

2

)．
點(diǎn)P到直線BC的距離h=

|2× 3 2 + 15 2 -6|

22+1

=

9 5

10

．
又|BC|=

32+62

=3

5

．
∴△PBC面積S的最大值=

1

2

×|BC|×h=

1

2

×3

5

×

9 5

10

=

27

4

．
（3）拋物線的對(duì)稱(chēng)軸x=1，代入直線BC的方程可得y=4，∴D（1，4）．
設(shè)N（n，0），M（x，-2x²+4x+6），
則

AD

=（2，4），

MN

=（n-x，2x²-4x-6）．
∵以點(diǎn)DAMN為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
∴

AD

=

MN

，
∴

2=n-x 4=2x2-4x-6

，解得

x=1+ 6 n=3+ 6

或

x=1- 6 n=3- 6

．
∴M(1+

6

，-4)或(1-

6

，-4)．

點(diǎn)評(píng)：本題了考查了拋物線的方程及其性質(zhì)、拋物線的切線、三角形的面積最大值、點(diǎn)到直線的距離公式、平行四邊形的性質(zhì)、向量相等，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．