已知橢圓E：
x2
20
+
y2
16
=1，點(diǎn)A是橢圓與y軸的交點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，直線l與橢圓交于B，C兩點(diǎn)．
（1）若點(diǎn)M滿足：
AF
=2
FM
，
OM
=
1
2
(
OB
+
OC
)．
①求點(diǎn)M的坐標(biāo)；②求直線l的方程；
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+m，若
AB
•
AC
=0，D在BC上，且
AD
•
BC
=0．
①求證：直線l恒過一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；②求動(dòng)點(diǎn)D的軌跡方程．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：計(jì)算題,證明題,圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：由題意得，a=2
5
，b=4，c=2；
（1）①寫出F（2，0），設(shè)點(diǎn)M（x，y）；討論A的坐標(biāo)，從而由
AF
=2
FM
求出M的坐標(biāo)；
②討論點(diǎn)M的坐標(biāo)，從而寫出直線l的方程，再由點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn)求直線l的方程；
（2）①y=kx+m與與橢圓方程聯(lián)立消y可得，（4+5k2）x2+10kmx+5m2-80=0，借助韋達(dá)定理簡(jiǎn)化運(yùn)算，從而求出（k2+1）
5m2-80
4+5k2
+k（m-4）
-10km
4+5k2
+（m-4）2=0，從而可求出m的值，從而得到定點(diǎn)；
②若A（0，4），則y=kx-
4
9
，設(shè)點(diǎn)D（x，y），則由
AD
•
BC
=0可得
y-4
x-0
•k=-1；化簡(jiǎn)得到動(dòng)點(diǎn)D的軌跡方程，同理討論A（0，-4）時(shí)的情況即可．
解答： 解：由題意得，a=2
5
，b=4，c=2；
（1）F（2，0），設(shè)點(diǎn)M（x，y）；
①若A（0，4），則
AF
=（2，-4），
FM
=（x-2，y）；
則由
AF
=2
FM
可得，
2=2(x-2)
-4=2y
，
解得，x=3，y=-2；
若A（0，-4），則
AF
=（2，4），
FM
=（x-2，y）；
則由
AF
=2
FM
可得，
2=2(x-2)
4=2y
，
解得，x=3，y=2；
故點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，-2）或（3，2）；
∵
OM
=
1
2
(
OB
+
OC
)，
∴B、C、M三點(diǎn)共線，且點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn)，
故若M（3，-2），設(shè)直線l的方程為y=k（x-3）-2；
與橢圓方程聯(lián)立消y可得，
（4+5k2）x2-10k（3k+2）x+5（3k+2）2-80=0，
則xB+xC=
10k(3k+2)
4+5k2
=3×2=6，
解得，k=
6
5
，
同理，當(dāng)M（3，2）時(shí)，k=-
6
5
，
故直線l的方程為
y=
6
5
（x-3）-2或y=-
6
5
（x-3）+2，
即6x-5y-28=0或6x+5y-28=0，
（2）①證明：y=kx+m與與橢圓方程聯(lián)立消y可得，
（4+5k2）x2+10kmx+5m2-80=0，
則xB+xC=
-10km
4+5k2
，xBxC=
5m2-80
4+5k2
；
若A（0，4），則
AB
=（xB，yB-4），
AC
=（xC，yC-4）；
∵
AB
•
AC
=0
∴xBxC+（yB-4）（yC-4）=0，
即xBxC+k2xBxC+k（m-4）（xB+xC）+（m-4）2=0，
即，（k2+1）
5m2-80
4+5k2
+k（m-4）
-10km
4+5k2
+（m-4）2=0，
即m=4或m=-
4
9
；
當(dāng)m=4時(shí)，直線l恒過點(diǎn)A，不是要求的直線，
故m=-
4
9
；
則直線l恒過定點(diǎn)（0，-
4
9
）；
若A（0，-4），同理可得直線l恒過定點(diǎn)（0，
4
9
）；
②若A（0，4），則y=kx-
4
9
，
設(shè)點(diǎn)D（x，y），
則由
AD
•
BC
=0可得，
y-4
x-0
•k=-1；
化簡(jiǎn)可得，
k（y-4）+x=0，
即
y+
4
9
x
（y-4）+x=0，
化簡(jiǎn)可得，x2+y2-
32
9
y=
16
9
，
若若A（0，-4），同理可得x2+y2+
32
9
y=
16
9
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓錐曲線的綜合應(yīng)用，無論化簡(jiǎn)與思路都比較困難，屬于難題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

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如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別為ABCD-A1B1C1D1、ABCD-A1B1C1D1的中點(diǎn)．
（1）求證：AC⊥BD1；
（2）AE∥平面BFD1．

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已知全集U={x∈N|x≤4}，A={1，2}，則∁UA為（　�。�
A、{3}
B、{0，3}
C、{3，4}
D、{0，3，4}

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

使得拋物線上y2=4x上一點(diǎn)M到點(diǎn)A（
5
2
，-2）與到焦點(diǎn)的距離之和最小，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)y=2cos（
π
3
-ωx）的最小正周期是4π，則ω等于（　�。�
A、2
B、
1
2
C、±2
D、±
1
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=-x|x-a|+1（x∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求使f（x）=x成立的x的值；
（Ⅱ）當(dāng)a∈（0，3），求函數(shù)y=f（x）在x∈[1，2]上的最大值；
（Ⅲ）對(duì)于給定的正數(shù)a，有一個(gè)最大的正數(shù)M（a），使x∈[0，M（a）]時(shí)，都有|f（x）|≤2，試求出這個(gè)正數(shù)M（a），并求它的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，拋物線y=ax2+bx+6與x軸交于AB兩點(diǎn)與y軸交點(diǎn)C，已知A（-1，0）、B（3，0）．
（1）求拋物線及直線BC的解析式；
（2）若P為拋物線上位于直線BC上方的一點(diǎn)，求△PBC面積S的最大值并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）直線BC與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)D，M為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N在x軸上，若以點(diǎn)DAMN為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求出所有滿足條件的點(diǎn)M．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A=AC=
2
AB，AB=BC=a，D為BB1的中點(diǎn)．
（1）證明：平面ADC1⊥AA1C1C；
（2）求點(diǎn)B到平面ADC1的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）是雙曲線的左、右焦點(diǎn)．若P為雙曲線右支上的一點(diǎn)，滿足
PF1
•
PF2
=4ac，∠F1PF2=
π
3
，則該雙曲線的離心率是
 
．

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