如圖所示,在三棱錐P-ABC中,AB=BC=
6
,平面PAC⊥平面ABC,PD⊥AC于點(diǎn)D,點(diǎn)O為AC的中點(diǎn),AD=1,CD=3,PD=
3

(1)求證:BO⊥平面PAC
(2)證明:△PBC為直角三角形;
(3)求直線AP與平面PBC所成角的余弦值.
分析:(1)先證BO⊥AC,再由面面垂直的性質(zhì)定理,即可得證;
(2)證明1:先證明PD⊥平面ABC,在△PBC中,可得BC=
6
PB=
6
,PC=2
3
,從而B(niǎo)C2+PB2=PC2
證明2:先證明PD⊥平面ABC,再證明BC⊥BD,BC⊥PD,從而可得BC⊥平面PBD.
(3)建立空間直角坐標(biāo)系,確定
AP
=(0,1,
3
)
,以及平面PBC的法向量,利用向量的夾角公式,可求直線AP與平面PBC所成角的正弦值.
解答:解:法一:(1)證明:∵AB=BC,點(diǎn)O為AC的中點(diǎn),∴BO⊥AC
∵平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,BO?平面ABC,
∴BO⊥平面PAC;
(2)證明:在Rt△BOC中,OC=
AC
2
=2
BO=
BC2-OC2
=
2

同理DO=1,BD=
DO2+BO2
=
3
,PC=
PD2+DC2
=2
3

∵PD⊥AC于點(diǎn)D,同(1)的證明可得到PD⊥平面ABC,
∵BD?平面ABC,∴PD⊥BD
在Rt△PBD中,PD=
3
PB=
PD2+BD2
=
6

∵PC2=12=PB2+PC2,∴△PBC為直角三角形;
(3)以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),以O(shè)B,OC所在的直線分別為x軸,y軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系O-xyz,
則A(0,-2,0),B(
2
,0,0)
,C(0,2,0),P(0,-1,
3
)

于是
AP
=(0,1,
3
)
,
PB
=(
2
,1,-
3
)
,
PC
=(0,3,-
3
)

設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),
n•
PB
=0
n•
PC
=0.

2
x+y-
3
z=0
3y-
3
z=0.

取y=1,則z=
3
x=
2

所以平面PBC的一個(gè)法向量為n=(
2
,1,
3
)

設(shè)直線AP與平面PBC所成的角為θ,
sinθ=|cos<
AP
,n>|=
|
AP
•n|
|
AP
|•|n|
=
4
2•
6
=
6
3

所以直線AP與平面PBC所成角的正弦值為
6
3

法二:
(1)以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn),以EB,EC所在的直線分別為x軸,y軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系E-xyz,
B(
2
,0,0)
,C(0,2,0),P(0,-1,
3
)

于是
BP
=(-
2
,-1,
3
)
,
BC
=(-
2
,2,0)

因?yàn)?span id="tm2dbkd" class="MathJye">
BP
BC
=(-
2
,-1,
3
)•(-
2
,2,0)=0,
所以
BP
BC

所以BP⊥BC.
所以△PBC為直角三角形;
(2)由(1)可得,A(0,-2,0).
于是
AP
=(0,1,
3
)
,
PB
=(
2
,1,-
3
)
,
PC
=(0,3,-
3
)

設(shè)平面PBC的法向量為n=(x,y,z),
n•
PB
=0
n•
PC
=0.
2
x+y-
3
z=0
3y-
3
z=0.

取y=1,則z=
3
,x=
2

所以平面PBC的一個(gè)法向量為n=(
2
,1,
3
)
,
設(shè)直線AP與平面PBC所成的角為θ,
sinθ=|cos<
AP
,n>|=
|
AP
•n|
|
AP
|•|n|
=
4
2•
6
=
6
3

所以直線AP與平面PBC所成角的正弦值為
6
3
點(diǎn)評(píng):本小題主要考查空間線面關(guān)系、直線與平面所成角、空間向量及坐標(biāo)運(yùn)算等知識(shí),考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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(2012•廣州一模)如圖所示,在三棱錐P-ABC中,AB=BC=
6
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(1)證明△PBC為直角三角形;
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