Question

如圖所示，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB⊥AC，AB=AC=2，E為AC的中點．
（1）求異面直線BE與PC所成角的余弦值；
（2）求二面角P-BE-C的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）以A為原點，AB，AC，AP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則可用坐標表示向量，從而利用數(shù)量積公式可求；
（2）分別求平面BPE、ABE的法向量，再利用夾角公式，應注意二面角P-BE-C的平面角為鈍二面角，從而得解．

解答：解：（1）以A為原點，AB，AC，AP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則有

BE

=(-2，1，0)，

PC

=(0，2，-1)，
∴cos＜

BE

，

PC

＞=

2

5

∴異面直線BE與PC所成角的余弦值為

2

5

；
（2）設平面BPE的法向量

n

=(x，y，z)，則有

BE • n  =-2x+y=0 BP • n =-2x+z=0

∴

n

=(1，2，2)
∵平面ABE的一個法向量為

n1

=(0，0，1)
∴cos＜

n

，

n1

＞=

2

3

∵二面角P-BE-C的平面角為鈍二面角；
∴二面角P-BE-C的平面角的余弦值為-

2

3

點評：本題以三棱錐為載體，考查空間直角坐標系的建立，考查線線角，考查面面角，關鍵是正確利用公式．